SEDE BOGOTA DNSAV

Ecuaciones Diferenciales

Lección 2.

Ecuaciones Diferenciales

Si queremos encontrar la ecuación de la curva que pasa por el punto (-2,1) tal que la pendiente en cualquier punto es igual a tres veces el cuadrado de la abscisa, estoy buscando una función tal que y

Resolver la ecuación planteada es resolver una ecuación diferencial (es una ecuación que contiene diferenciales), y se puede resolver de las siguientes maneras:

La solución nos da una familia de curvas que satisface la ecuación. La condición de que la curva debe pasar por el punto (-2,1) se llama condición inicial y nos determina la curva de manera única:

familia de curvas

La solución de la ecuación diferencial es la función $y=x^{3}+9$

Cualquier ecuación donde la incógnita sea una función , y que contenga derivadas o diferenciales se llama ecuación diferencial.

Ejemplos:

i) (Es una ecuación de orden 2 porque involucra la segunda derivada)

ii) ( Es una ecuación de orden 1 porque involucra la primera derivada)

El tipo de ecuación diferencial que resolveremos es aquel que se refiere a la primera derivada de la
función desconocida y donde las variables se pueden separar.

Ejemplo: cuando

$2y\;dy=x\;dx$ (separación de variables)

Si no se pudiera despejar obtendríamos una solución implícita de la ecuación

Ejemplo: cuando

(separación de variables)

como cuando

En general una ecuación diferencial de primer orden de variables separables se puede ver en general de la manera siguiente: , que permite separar las variables obteniendo $N(y)\;dy=-M(x)\;dx$ para poder sacar antiderivada a cada lado.