SEDE BOGOTA DNSAV

El Área de una región como introducción a la Integral Definida

Lección 3.

El Área de una región como introducción a la Integral Definida

Se quiere calcular el área de una región R que está limitada por la gráfica de una función

inicialmente las rectas , y el eje , a lo cual se le llamará el área bajo la curva desde hasta .

Cuando se trata de rectángulos, triángulos, polígonos, es decir figuras geométricas, cuyos lados son rectos esto se puede hacer:


	$A=b\frac{h}{2}$

Ejemplo: Se quiere calcular el área bajo la curva $y=x^{3}$ desde 0 hasta 3

Un método de aproximación al área que se está buscando es, haciendo una subdivisión del intervalo $\left[ 0,3\right]$ en subintervalos de longitudes iguales (a lo que se le llamará partición regular del intervalo) y, considerando los rectángulos cuyas bases coinciden respectivamente con cada uno de los subintervalos, y cuyas alturas son los valores de la función en, por una parte los extremos izquierdos de éstos subintervalos, y en, por otra parte los extremos derechos de los subintervalos.


5 rectángulos	10 rectángulos	n rectángulos

Si el área de cada uno de los rectángulos se llama entonces

$A_{i}\approx$ Área buscada.

Partición de un intervalo $\left[ a,b\right]$

Un conjunto finito de puntos de $\left[ a,b\right]$ de los cuales uno es y otro es

siendo $n\in\QTR{Bbb}{N}$ es una manera de numerar los puntos de la partición;. es el número de partes; los intervalos no necesariamente tiene la misma longitud.

Para mirar lo acabado de mencionar, con un ejemplo concreto, cuando aproximamos de las dos maneras para 10 rectángulos, sea la suma de las áreas de los rectángulos por defecto (fig 1) y S $_{10}$ la de los
rectángulos por exceso (fig 2)


Figura 1	Figura 2

y podemos decir que: S

Pero en vez de tomar el caso particular tomemos más general y S $_{n}$

Para evaluar cada suma de estas se empleará

mediante lo cual S

Pero para obtener como la suma termina en restando a cada lado $n^{3}$ o remplazando por se obtiene de donde

Al remplazar n por 10 se obtienen las aproximaciones $\QTR{cal}{S}_{10}$ y S $_{10},$ al tomar n=100 se obtendrán dos nuevas

aproximaciones que serán $\QTR{cal}{S}_{100}$ y S $_{100}$ que serán mejores puesto que el tamaño de la base es más

pequeño.Así $\QTR{cal}{S}_{10}$ <S $_{10}<$ S $_{100}<$ S $_{1000}$

Pero cómo podemos encontrar un número que nos de el valor del área?

Tenemos una partición regular. Estamos incrementando el número de rectángulos con lo cual disminuye la distancia entre los puntos que conforman la base de cada rectángulo. La afirmación anterior es equivalente a decir que cuando n ,

El manejo del concepto de límite al infinito nos permitirá dar una repuesta

Entonces si es una función positiva y se quiere encontrar el área bajo la curva desde hasta ,tomando $f(x_{i})$ el mayor valor que toma la función en el intervalo y $f(x_{i-1})$ el menor valor de la función en el intervalo (si la función es creciente en $\left[ a,b\right]$ ), haciendo una partición regular del intervalo cuando

si el límite existe.

?` Se está diciendo como calcular el área bajo una curva usando la integral definida?

No; se está introduciendo la integral definida, para el cálculo del área como el límite de unas sumas muy particulares ( puesto que se tomó partición regular del intervalo $\left[ a,b\right]$ ) y son límites en un sentido un poco diferente de los tradicionales, puesto que son sumas infinitas.