SEDE BOGOTA DNSAV

La Integral Definida

Lección 4.

La Integral Definida

En el ejemplo de la lección anterior:

1) La función era positiva ( y creciente)

2) La partición del intervalo $\left[ a,b\right]$ era regular

3) La función se evaluó en los extremos del intervalo en cada caso.

4) La función era contínua en todo el intervalo $\left[ a,b\right]$

Pero podemos tomar:

1*) La función positiva y negativa en el intervalo $\left[ a,b\right]$

2*) La partición del intervalo $\left[ a,b\right]$ no es regular

3*) La función se evalúa en cualquier

4*) La función puede ser discontínua en un número finito de puntos del intervalo $\left[ a,b\right]$

Entonces se denomina suma de Riemann

Ejemplo 1: Para $y=x^{3}$ Haciendo una partición con

$x_{0}=-2$ ; $x_{1}=-1.8$ ; $x_{2}=-1.2$ ; $x_{3}=-0.8$ ;

MATH
= -3.4539

En general y

Si existe para cada suma de Riemann asociada con una partición arbitraria de

$\left[ a,b\right]$ con entonces

Nota: 1) Para una partición general la norma se relaciona con el número n de intervalos con lo cual si n Pero puede ser que al revés n pero que no tienda a como ocurre en . La norma de la partición es $\frac{2}{3}$ puesto que como se dijo anteriormente, es el mayor de los $\Delta x_{i}$ y eso es entonces n pero la norma de la partición no.

2) MATH no es el área bajo la curva; solamente cuando $f\;$ es $\ge 0$ en $\left[ a,b\right]$ .

3) Todavía no tenemos ningún teorema que permita la evaluación de MATH que no sean las sumas de Riemann

Ejemplo 2: Determinar, si es posible el área limitada por la curva MATH para

La función es creciente en el intervalo

Haciendo una partición regular del intervalo cada uno de los subintervalos tiene longitud

Hacemos una suma de Riemann que corresponde a suma de áreas de rectángulos por defecto, que en la lección anterior llamamos

( Habiendo usado que

Si ahora tomamos lim

Ahora al hacer la suma S $_{n}$ de áreas de rectángulos por exceso es decir que superan el área buscada, la expresión no tiene mucho sentido pues tal como está definida la función para tendríamos un rectángulo de base $\frac{4}{n}$ y de altura 3 que queda por debajo de la gráfica de y por lo tanto no corresponde a lo que es $\QTR{bf}{S}_{n}.$ Entonces para ese último rectángulo tenemos que usar otro concepto, que no es el de mayor valor de la función en el intervalo ( ya que esa función no tiene valor máximo en el intervalo , sino usar el concepto de mínima cota superior de la función que se denomina supremo o sup de la función en el intervalo, y que corresponde al valor 4, quedando entonces

Ahora cuando lim

Se determinó el área entonces mediante un ''encajonamiento'' de sumas de áreas por defecto y sumas de áreas por exceso.

Vale la pena anotar que hay que poner atención especial en como se van a construir las sumas. Al no ser contínua la función dada en todo el intervalo ya no se pueden usar los conceptos de mínimo valor o máximo valor de la función en un intervalo. Si el intervalo inicialmente hubiera sido por ejemplo,ya habría que usar para $\QTR{cal}{S}_{n}$ el concepto de máxima cota inferior ( conocido como $\inf$ ).

Para mirar más a fondo estos conceptos puede referirse al Capítulo 9 de este curso