SEDE BOGOTA DNSAV

Propiedades de la Integral Definida

Lección 5.

Propiedades de la Integral Definida

Definición:

Teorema: Si es una función contínua en $\left[ a,b\right]$ o si es monótona en $\left[ a,b\right]$ entonces es
integrable en $\left[ a,b\right]$

Propiedades:

1) MATH

2) MATH

3) MATH

Estas tres primeras propiedades son consecuencia de las propiedades de $\sum$ y de los límites así:

MATH

4) MATH ( no tiene que pertenecer a $\left[ a,b\right]$

La útima de estas se ilustra a continuación cuando c

Cuando c se pude mostrar de la siguiente manera:

Suponga que c MATH = MATH

5) Si $f(x)\;$ integrable y $f(x)\geq 0$ entonces MATH (consecuencia de como se definió la integral)

6) Si y son integrables y $f(x)\geq g(x)$ entonces MATH

Como $f\geq g$ entonces MATH

7) (Teorema del valor medio para integrales) Si es contínua en un intervalo $\left[ a,b\right]$ entonces existe un
número c tal que MATH

Si f es contínua en $\left[ a,b\right]$ toma su valor máximo y su valor mínimo en el intervalo, es decir que existen y tales que

y MATH

de donde

MATH (prop.1).

Dividiendo por MATH .Si y , por el teorema del valor intermedio siendo contínua tiene que haber un valor tal que MATH con lo cual MATH Al valor se le llama el valor medio de en $\left[ a,b\right]$ .

Ejemplo: Tomándose $f(x)=4x-x^{2}$ , se tiene que MATH (En la siguiente lección se indicará como se evalúan las integrales definidas)

Se buscarán los valores $c\in \lbrack 0,4]$ que cumplen la condición MATH , es decir: . Esta ecuación se puede reescribir como .
Las soluciones de esta ecuación son y .

Considerando se tiene que . De ésto, MATH . Se dice que $f(c_{1})=f(c_{2})$ es elvalor medio de la función $f(x)=4x-x^{2}$ en el intervalo .