SEDE BOGOTA DNSAV

Integración numérica

Lección 8.

Integración numérica

Las sumas de Riemann sirven para aproximar integrales así MATH

lo cual nos dice que haciendo una partición del intervalo $\left[ a,b\right]$ , con y

podemos aproximar el valor de la integral.

Si se toman dos de esas aproximaciones con $t_{i}$ respectivamente igual a $x_{i-1}$ y a $x_{i}$ se obtiene

MATH

Regla del trapecio:

?` Porqué regla del trapecio? Mirando un término de la suma el área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases por la altura donde las bases son $f(x_{i-1})$ y $f(x_{i})$ y la altura es $\Delta x.$

Ejemplo 1: queremos aproximar (cuya antiderivada no se puede encontrar)

Haciendo una partición regular con n=8

Usando la fórmula obtenida

Si en vez de usarse segmentos de recta que unen los puntos $f(x_{i-1})$ y $f(x_{i})$ produciendo trapecios de

altura $\Delta x$ se usan segmentos parábolicos se obtiene

Regla de Simpson:

$\QTR{bf}{\ con}$ $\QTR{bf}{n}$ $\QTR{bf}{par}$

Ejemplo 2: Para aproximar con el mismo n=8

Esta fórmula se deduce sacando el área del segmento parabólico que se muestra

Si la parábola se llama Ax $^{2}+Bx+C$ localizada como se muestra y tres puntos de la curva son comunes al segmento parabólico MATH

Por otra parte el área limitada por el segmento parabólico $Ax^{2}+Bx+C$ entre y es MATH

Si se translada este segmento parabólico, su área no cambia,así ajustando la curva con segmentos
parabólicos tales que donde termina uno empieza el siguiente, siendo $h=\Delta x,$ y tres puntos que determinan dos intervalos luego n que es el número de partes tiene que ser par