SEDE BOGOTA DNSAV

Integración por partes

Lección 2.

Integración por partes

Este método se utiliza para cuando la integral se presenta en la forma $\int f(x)g(x)\;dx$

Note que el integrando se presenta como un producto de dos funciones y no como en el
método anterior donde la derivada interna de estaba en el integrando.

Integrales típicas para hacer por partes son : $\int$ $xe^{x}\;dx$ $\int x^{2}senx\;dx$ $\int\ln x\;dx$

Uno de los téminos del integrando se llamará y el otro , para aplicar

Para $\int xe^{x\;}dx$

?`De donde viene la fórmula? De la derivada de un producto as

antiderivando a cada lado, sabiendo que y son funciones de variable

despejando una de las dos integrales

es la fórmula habitualmente utilizada

Ejemplo 1: $\int x^{2}senx\;dx$

$u=x^{2}$ $du=2x\;dx$

$dv=senx\;dx$ $v=-\cos x$

esta última integral se va a repetir por partes con

$dv=\cos x\;dx$

Note que es carácteristico de la integral por partes que haya que repetirla varias veces.
Si la integral planteada hubiera sido $\int x^{4}senx\;dx$ se haría cuatro veces por partes,
reduciendo el grado de $x^{4}.$

Por eso en algunos casos donde la integral se presenta como producto de una función
polinómica con una función trascendente se puede utilizar una tabla así

MATH

y la integral se hace con productos en diagonal alternando los signos empezando con el signo + así

Ejemplo 2: $\int\ln x\;dx$

Ejemplo 3:

Aquí es indiferente que tomar como y que tomar como

se vuelve a integrar por partes pero la escogencia de las partes tiene del mismo tipo de la integral original

remplazando

= 3

Sumando (ln3) a cada lado de la igualdad

Note que es también una característica de la integral por partes que al repetir el proceso, la integral quede en términos de la integral dada. Pero este problema se trata algebráicamente agrupándola con la integral original para luego despejar.