SEDE BOGOTA DNSAV

Integración de funciones racionales por fracciones parciales

Lección 6.

Integración de funciones racionales por fracciones parciales

Las funciones racionales son aquellas que se pueden expresar como cociente de polinomios $\frac{P(x)}{Q(x)}$

Si el grado del polinomio del numerador es mayor o igual al del denominador se debe primero hacer la
división de los dos polinomios, siempre que se integran funciones racionales se integra una fracción cuyo numerador es de grado inferior al del denominador.

Así

Un cociente $\frac{P(x)}{Q(x)}$ se va a expresar en una suma de expresiones racionales más sencillas, basándose en los casos de factorización de

Es sencillo comprobar que y al lado derecho de la igualdad se le llama descomposición en fracciones parciales.

Es teóricamente posible expresar donde cada una de las expresiones $E_{i}$ tiene la forma o utilizando la factorización del polinomio

Caso I :

Q(x) tienes raíces reales sencillas o repetidas, lo que genera el factor $(px+q)^{m}$ $m\geq 1$

La descomposición es de la forma siendo $A_{i}$
número real.

Es decir tantas fracciones parciales como repetido esté el factor

Si el factor no está repetido habrá entonces una sola fracción parcial (ver ejemplo 1)

?`Porqué constantes en el numerador? Porque el grado del polinomio del numerador debe ser menor que el del denominador. Si éste es de grado uno, el polinomio del numerador tiene que ser de grado cero y un polinomio de grado cero es una constante.

El que aparezca está indicando que la raíz $-\frac{q}{p}$ se repite veces ( se llama raíz de multiplicidad y en consecuencia el polinomio básico es que al ser de grado uno explica que el numerador sea de grado cero

Ejemplos:1)

2)

Una vez hecha la descomposición se buscan las constantes

Paso1: se reduce a común denominador ( mínimo común múltiplo) se debe obtener el denominador de la fracción propuesta originalmente

Paso2: se igualan los numeradores de la fracción original con el numerador cuyas constantes se van a encontrar

Paso3: Encontrar las constantes por uno de los métodos como se igualan polinomios, dándole valores a la variable o comparando coeficiente a coeficiente

Ejemplo 1:

Con lo cual y

Ejemplo 2:

Como ya no disponemos de más raíces del denominador que son las que más facilitan los cálculos se puede usar una de las dos alternativas siguientes:

a) remplazar $A_{1\text{ }}$ y $A_{4}$ por sus valores y luego desarrollar todo para comparar coeficiente a coeficiente

desarrollando

$\frac{1}{11}(x+3)$

Agrupando términos

Como dos polinomios son iguales si y sólo si sus coeficientes respectivos lo son:

Si se hicieron las cosas bien remplazando A $_{2}$ y $A_{3}$ por los valores encontrados

de la constante

del coeficiente de

b) Después de remplazar $A_{1}$ y $A_{4}$ por sus respectivos valores, formar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas $A_{2\text{ }}$ y $A_{3}$ dándole a dos valores cualquiera ( diferentes de y de $\frac{2}{3})$

Por ejemplo para

Con lo cual resolviendo el sistema y

Ahora

Caso II :

tiene raíces complejas lo que produce un factor cuadrático irreducible ( $ax^{2}+bx+c)^{m}$ m $\geq 1$

La descomposición será en la forma

Es decir tantas fracciones parciales como repetido esté el factor cuadrático.

Esta vez el polinomio del denominador es de grado dos ( irreducible puesto que no se puede factorizar en $\QTR{Bbb}{R}$ ) razón por la que el polinomio del numerador es de grado menor; el polinomio más general de grado menor es el lineal o de grado uno

Ejemplo 3:

Ahora será necesario determinar las constantes del caso

Ejemplo 4:

Sabiendo que el denominador tiene que ser el mínimo común múltiplo para que sea el denominador de la fracción original

Ejemplo 5:

Ejemplo 6:

$x^{3}$

No se dispone de ninguna raíz real.

Por lo tanto efectuamos el producto para comparar coeficientes

$x^{3}$

$+(D_{1}+D_{2})$

comparando coeficientes

$C_{1}=1$

$D_{1}=-1$

$C_{2}=0$

$D_{2}=1$

que se integran completando el cuadrado

si $u=x+\frac{1}{2}$

Remplazando se tiene que