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Área de una región comprendida entre dos curvas

Lección 1.

Área de una región comprendida entre dos curvas

Supongamos que se quiere calcular el área de la región limitada por las gráficas de las funciones y en el intervalo de x=-4 hasta x=0 que, como se ve gráficamente corresponde a las abscisas de los puntos de intersección .

En este caso, dado que tanto como son funciones positivas,

MATH Area limitada por la curva , las rectas y el eje

MATH Area bajo la curva entre y

Observamos que restando del área mayor dada por MATH el área menor que está dada por MATH
se obtiene el área que está entre las dos.

Aquí se ilustra la situación más sencilla con ambas curvas positivas, pero esta situación se puede generalizar

Si hacemos una partición del intervalo en un subintervalo cualquiera si un rectángulo típico sería ; haciendo la suma de las áreas de todos los rectángulos se obtiene tomando ahora se establece el resultado.

ÁREA DE UNA REGIÓN ENTRE DOS CURVAS .

Si y g son funciones continuas en $\left[ a,b\right]$ y $g(x)\leq f(x)$ para todo el área de la
región limitada por las curvas y , las rectas y es

Pasos a seguir : a) determinar las abcisas de los puntos de intersección con

b) Si no me dan intervalo donde se va a encontrar el área este presupone que
es entre los valores encontrados en a); de lo contrario se debe establecer cúal(es)
está(n) en el intervalo dado

c) Es útil hacer una gráfica; si no se hace gráfica se mirará algebráicamente
cual de las dos curvas es la mayor en ordenada, en que intervalo.

Ejemplo 1: Encontar el área de la región comprendida entre las gráficas de las curvas $y=senx,y=\cos x$ en el intervalo de

1) Puntos de intersección $senx=\cos x$ dan $x=\frac{\pi}{4}$ y $x=\frac{5\pi}{4}$ son los que están en el intervalo de integración

2) cosx $\geq senx$ A MATH

$senx\geq\cos x$ A MATH

$\cos x\geq senx$ A MATH

Area total =A

Si las dos gráficas están dadas en términos de y no de los rectángulos que conducen al área se toman horizontales en vez de verticales con lo cual la variable de integración será se mirará cúal curva es mayor en cuanto a abscisa se refiere para hacer o según sea el caso

Ejemplo 2:Calcular el área de la región limitada por la recta y $y^{2}=x+4$

1) puntos de intersección

2) Las de la recta son mayores (están más a la derecha) que las de la parábola

3) Area = MATH

Nota: Si se tomaran los rectángulos verticales de base $\Delta x$ habría que hacer dos integrales donde una
tendría que ver únicamente con la parábola para y la otra si con la
parábola y la recta si

Así Area MATH