Área entre Curvas Secciones Transversales

Lección 2.     Volúmenes de sólidos obtenidos por revolución Cuando una región en el plano rota alrededor de una línea recta tal que a lo suma esta línea es frontera de la región ( no la intersecta) se produce un sólido tridimensional que se llama sólido de revolución . La recta alrededor de la cual rota la región se llama eje de rotación o de revolución. Haga click aquí para ver la animación MÉTODO DE DISCOS: Inicialmente la rotación será alrededor de una de los ejes coordenados La región limitada por la gráfica de la curva las rectas el eje rota alrededor del eje . Se hace una partición del intervalo para un subintervalo se toma Las secciones transversales perpendiculares al eje de rotación son discos circulares de radio . Así el volumen de un disco será de modo que Al tomar el límite cuando la norma de la partición tiende a cero Ejemplo 1: Utilizando rotación de una semicircunferencia alrededor del eje se puede verificar que el volumen de una esfera es Tomando la parte superior de la circunferencia y haciendo rotar la región limitada por la semicircunferencia y el eje alrededor del eje se obtiene Ejemplo 2: La región limitada por la curva el origen , la recta el eje rota alrededor del eje . Encontrar el volumen del sólido obtenido. Los elementos que van a llevar a la expresión del volumen son perpendiculares al eje . Al rotar se van a obtener discos cuyo volumen es para con lo cual MÉTODO DE ARANDELAS: Cuando se va a rotar una región limitada por dos curvas el sólido de revolución es hueco por dentro, las tajadas perpendiculares al eje de rotación son ahora arandelas o anillos. Supongamos que tenemos dos curvas cuyas ecuaciones son y tal que las abscisas de sus puntos de intersección son y y que para ; la región limitada por las dos curvas va a rotar alrededor del eje . Las secciones transversales perpendiculares al eje de rotación son anillos acotados por dos círculos; cada anillo tiene un radio exterior y un radio interior , por lo tanto el área de la sección transversal es A(x)= y el volumen de cada sección transversal es con lo cual el volumen Note que el radio exterior dado por la curva es mayor que el radio interior dado por y que la integral planteada proviene de una resta de volúmenes y no del volumen de una resta Ejemplo 3: Encontrar el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada por y alrededor del eje Radio exterior va a estar dado por la curva ( que es la mayor en ordenada ) Radio interior por la curva ( que es la mayor en ordenada ) (unidades cúbicas) Ejemplo 4:Encontrar el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada por las curvas y alrededor: del eje alrededor de la recta Las curvas son las mismas del ejemplo anterior. Las secciones perpendiculares al eje de rotación son arandelas pero de ancho El radio exterior corresponde a la mayor abscisa que es la de la curva y como es positiva Por lo tanto el radio interior corresponde a la curva cuyas abscisas son menores en el intervalo. El volumen de un anillo o arandela será Como los puntos de intersección de las dos curvas son (0,0) y (1,1), los límites de integración en este caso son iguales en o en . La curva que tiene mayor abscisa es la que determina la parte exterior del sólido y sigue siendo pero el radio ahora es la distancia al eje de rotación La parte interior la determina la que tiene menor abscisa, siendo la distancia al eje de revolución y MÉTODO DE CORTEZAS Ó CAPAS CILÍNDRICAS: Supongamos que se quiere rotar la región limitada por la curva y el eje alrededor del eje Si se fueran a usar arandelas de espedor o ancho se tendría que buscar con la simetría que tiene la curva con repecto a la recta x=2 , cúal es el radio exterior en función de y cúal el exterior en términos de , es decir despejar de en términos de resolviendo la ecuación cuadrática lo cual me dice que . con lo cual después de efectuar y simplificar lo cual es siempre un proceso! Además aún no se ha realizado la integral y se está contando con que se pudo expresar en términos de . Ahora tomemos rectángulos paralelos al eje de rotación, que al girar producen cilindros concéntricos circulares (cortezas cilíndricas o capas cilíndricas). Estas capas tienen una altura , un radio exterior un radio interior ; si se abre un cilindro de estos se produce una lámina delgada rectangular cuya área es 2 y cuyo espesor es Su volumen estará dado por 2. Traduciendo al caso de la curva del ejemplo haciendo una partición regular del intervalo en un subintervalo cualquiera si la altura de una corteza es ; el radio de una corteza es , el espesor quedando el volumen de la iésima corteza con lo cual Volumen total. Ahora tomando el límite cuando se obtiene Si se generaliza este proceso para una curva contínua con . Ejemplo 5: Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar la circunferencia de centro en el punto y radio 2 alrededor de la recta (Toro) El volumen se puede hacer por arandelas siendo la parte superior de la circunferencia la que genera el volumen de la parte exterior y la parte inferior de la circunferencia la que genera el volumen de la parte interior. Sinembargo se facilita mucho utilizar capas cilíndricas ( producidas por rectángulos paralelos a la recta El radio es la distancia al eje de rotación desde cualquier ordenada es decir La altura y el espesor con lo cual que conduce a la integral integral que se calcula haciendo y al reemplazar con lo cual (unidades cúbicas). Otra manera de ver el volumen de una corteza cilíndrica. Sea el radio exterior de la corteza , el radio interior de la corteza, h la altura. El volumen del cascarón será la diferencia entre el volumen externo y el volumen interno es decir Observemos que es el promedio de los radios que se podría llamar y podríamos llamarlo el espesor de la capa cilíndrica. Ya utilizando la expresión del volumen obtenida, al hacer una partición regular del intervalo , en el intervalo el volumen de una corteza será con Haciendo suma de volúmenes de cortezas Al tomar el límite cuando __

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