Vicerrectoría General
Dirección Nacional de Servicios Académicos Virtuales
| Lección 3. |
Volúmenes de sólidos de secciones transversales conocidas
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Cuando en los volúmenes de revolución se rotó alrededor del eje
la región plana limitada por la curva
el eje
las rectas
y
se llegó a
donde la expresión
se puede interpretar como el área de la sección transversal del
sólido hecha por un plano perpendicular al eje
a una distancia de
unidades con respecto al origen; esta área de la sección es la de
una circunferencia. Si ahora la sección transversal tiene un área
se puede utilizar el mismo principio para decir el volumen estará dado
por
Ejemplo 1:La base de cierto sólido es la parábola
Las secciones
transversales perpendiculares al eje
son triángulos equiláteros; encontrar
el
volumen del sólido.
La base del triángulo será
.
Por ser el triángulo equilátero
El área de un triángulo es
y la sección transversal tiene un volumen
para lo cual
va de
a
,
con lo cual
Ejemplo 2: Calcular el volumen de una pirámide de base
rectangular de dimensiones
y
y de altura
.
Se podría tomar el origen del sistema en el centro del rectángulo,
la altura se mide sobre el eje
con lo cual las secciones tranversales perpendiculares esta vez al eje
son rectángulos de lados
y
el volumen de una tajada tomada así es
Para poder expresar x en términos de
se usa semejanza de triángulos donde
que corresponde a la fórmula geométrica
Area
de la base)(altura)
También se pude tomar el vértice de la pirámide en el origen ,
la altura medida sobre el eje
,
el centro de los rectángulos queda sobre el eje
y las secciones perpendiculares al eje
son
rectángulos de lados
y
;
el volumen de una sección transversal es
Para expresar
en términos de
,
se usan triángulos semejantes con
con lo cual
Ejemplo 3: Las secciones transversales de cierto sólido
por planos perpendiculares al eje
son
semicírculos con diámetros que van desde la curva
hasta la curva
el sólido está entre los puntos de intersección de las dos
curvas; encontrar el volumen.
Puntos de intersección :
los puntos son
y
Como las secciones transversales son perpendiculares al eje
un elemento de volumen estará dado por
El diámetro de cada semicírculo será
el radio entonces
Con lo cual
Ejemplo 4: Un tronco tiene forma de cilindro circular recto
de radio
.
A éste tronco se le va a quitar un trozo en forma de cuña
haciéndole un corte vertical y otro a un ángulo
,
de manera que los dos cortes se ntersectan en un diámetro del tronco.
Calcular el volumen de la cuña.
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Las secciones son triángulos rectángulos donde un ángulo vale
La altura de cada triángulo es
Para la base
y
Cada cuña tiene espesor
;
el volumen de cada tajada
Como el tronco es circular cada punto
satisface la ecuación
Ya se puede hacer el caso particular de que el ángulo sea de
o de
o cualquier otro
