SEDE BOGOTA DNSAV

Longitud de arco

Lección 4.

Longitud de arco

Vamos a calcular la longitud de una curva en un intervalo $\left[ a,b\right]$ cuya derivada $f\prime$ sea contínua en en $\left[ a,b\right]$ ; a esta porción de gráfica se le llama arco .

Para aproximar la longitud del arco s se va a usar ahora segmentos de recta que apromimen la longitud en cada intervalo.

Se hace una partición ( puede ser regular) del intervalo $\left[a,b\right]$ ; para $x_{i-1}$ P $_{i-1}=f(x_{i-1})$ y para $x_{i}$ P $_{i}=f(x_{i})$ de manera que el segmento P $_{i-1}$ P $_{i}$ tiene longitud calculada por el teorema de Pítagoras

Si se suma la longitud de cada segmento, P $_{1}$ P $_{0},$ P $_{2}$ P $_{1}$ ,... , P $_{n}$ P $_{n-1},$ se obtiene una aproximación a la longitud total s .

Para poder ahora tomar el límite de la suma cuando la norma de la partición , utilizaremos que la función es derivable y contínua en $\left[ a,b\right]$ (condición que se puso para que fuera un arco) y por lo tanto lo es en cada subintervalo por lo que satisface el teorema del valor medio.

Luego existe tal que remplazando

s . Si

Ejemplo 1:Encontrar la longitud del segmento de parábola $y=x^{2}$ en el intervalo $\left[ 0,2\right]$

$y^{\prime }=2x$ s MATH . Resolviendo ahora con

s ( unidades lineales)

Ejemplo 2 : Encontrar la longitud de la curva $y=\sqrt{x}$

Como y no es contínua en el intervalo propuesto, podemos utilizar el hecho de que la longitud de la curva $x=y^{2}$ será la misma para ( es prácticamente utilizar la inversa) y ahora con lo cual s MATH que es la calculada en el ejemplo1.