SEDE BOGOTA DNSAV

Área de una superficie de revolución

Lección 5.

Área de una superficie de revolución

Cuando se gira un arco de curva alrededor de un eje se genera una superficie de revolución.

Para hacer el cálculo se van a tomar, haciendo partición del intervalo $\left[ a,b\right]$ , los segmentos de recta
P $_{i-1}$ P $_{i}$ que al rotar alrededor del eje generan un cono truncado cuya área de superficie necesitaremos.

El área de la superficie de un cono circular recto de radio y generatriz o altura inclinada es $A=\pi rl$

Para demostrar esto se ``raja'' el cono por cualquier generatriz para establecer el área del sector circular de radio .

El área del sector circular es

Ya ahora se puede deducir el área de la superficie del cono truncado de radios $r_{1}$ y $r_{2}$ y genetratriz con triángulos semejantes del cono completo.

Si $l_{2}=l+l_{1}$

Ahora la longitud del segmento P $_{i-1}$ P

Area de un cono truncado

tomando ahora el límite cuando

(con relación al eje

)

Si para y se calcula la longitud de arco en términos de para

(con relación al eje

)

Si ahora el arco con se rota alrededor del eje se los radios medios de los conos truncados son con lo cual

(con relación al eje

)

Si es el arco con que genera la superficie por rotación alrededor del eje

(con relación al eje

)

Ejemplo 1: La curva $y=x^{3}$ con gira a) alrededor del eje

b) alrededor del eje

Encontrar el área de la superficie de revolución generada en cada caso

a) y al rotar alrededor del eje el radio medio será ; MATH

( unidades cuadráticas )

b) Utilizando la misma expresión para MATH

haciendo la sustitución trigonométrica $u=tan\theta$ obtenemos la integral Después de efectuar la integral se obtiene como resultado:

Ejemplo 2: El arco de curva gira en torno del eje ; encontrar el área de
la superficie que se genera

Aquí resulta mucho más sencillo utilizar la curva en la forma $x=y^{2}$ con desde el punto de vista de integración ( es conveniente verificarlo plantenado la integral en términos de .

Utilizando lo encontrado en la fórmula (IV ) MATH

Para con la sustitución trigonométrica