SEDE BOGOTA DNSAV

Trabajo

Lección 1.

Trabajo

Consideremos una partícula que recibe la acción de una fuerza. Si la fuerza F es constante y el movimiento se efectúa en línea recta en dirección de la fuerza el trabajo hecho por la fuerza sobre la partícula se define $W=F\times d$ , donde es la fuerza y es la distancia recorrida. (Si la fuerza no actúa en la dirección de la partícula se usa el producto de la componente de la fuerza en la dirección de la línea del movimiento por la distancia ).

Tabla de unidades para los diferentes sistemas

masa

sistema cgs

sistema mks

sistema inglés

libra

Fuerza

Trabajo

Estos son sistemas absolutos de unidades y las medidas son independientes de la localizaciòn en que se hagan.

Pero " los Ingenieros no usan sistemas absolutos de unidades " ( Estática y Dinámica Beer / Johnston ) y perfieren usar como unidades distancia, fuerza, tiempo en vez de distancia, masa, tiempo.

Este sistema se llama gravitacional de unidades. Entonces se toma la libra como unidad de fuerza, no de masa (libra-fuerza) y el kilogramo como unidad de fuerza ( kg-fuerza). Estas unidades se definen como la fuerza ejercida por la tierra sobre unas masas de respectivamente . y .( Peso de una masa de 1lb y de un kg. ) a nivel del mar. Como la aceleración debida a la gravedad es de respectivamente $32.2pies/s^{2}$ y $9.8metros/s^{2}$ las unidades de masa para que los sistemas pie-libra fuerza-segundo, metro-kilogramo fuerza-segundo sean consistentes serán, masa que reciben respectivamente una aceleración de $1pie/s^{2}$ y $1m/s^{2},$ así la tabla siguiente.

Fuerza	Libra (lb fuerza)	Kilogramo (kg fuerza)
Masa	Slug (lb-s $^{2}$ /pie)	Kg-s $^{2}$ /m

Entonces queda tácito que se usaran estas como unidades

Con estas definiciones
masa masa
Si la fuerza no es constante durante el desplazamiento, el trabajo ya no se puede expresar en esa forma.

Sea la partícula P que se desplaza a lo largo del eje desde hasta , con una fuerza .

Se procede como en las demás aplicaciones de la integral a hacer una partición del intervalo $\left[ a,b\right]$

y se toma de manera que $F(t_{i})$ se toma como constante en el intervalo y el trabajo en dicho intervalo será .

Si . Si ahora para cualquier número $\epsilon>0$ existe un número $\delta>0$ tal que para todas las particiones de $\left[ a,b\right]$ con entonces

Entonces se tratará de buscar la función fuerza en cada caso.

ALARGAR Y COMPRIMIR RESORTES

La fuerza para alargar o comprimir un resorte es proporcional al estiramiento o a la compresión.

Es decir , donde es una constante que depende del resorte ( sabemos que el material con que
esté hecho por ejemplo hace que sea más difícil o no de estirar)

Ejemplo 1: Una fuerza de 40 dinas es necesaria para estirar un resorte (cuya longitud natural es
de 20cm) medio centímetro. Calcular el trabajo necesario para estirarlo 5cm más
de su longitud natural.

El origen se debe colocar donde termina la longitud natural del resorte, y el eje

a lo largo del resorte. Si

MATH erg

Ejemplo 2: Si con el mismo resorte se quiere saber el trabajo para comprimirlo de 20cm a 18cm

MATH erg

VACIADO Ó LLENADO DE TANQUES:

Ejemplo 3: Un tanque de forma cilindro circular recto, de 5m de altura 3m de radio está
enterrado de forma que su base superior está 10m por debajo del nivel del suelo.
Encontrar el trabajo necesario para sacar el agua (por encima) hasta la superficie si: a) el
tanque está lleno b) el tanque está lleno hasta la mitad.

Haga click aquí para ver la animación

Se puede poner el eje coincidente con el eje del tanque y el eje en la base inferior del tanque, entonces el origen queda en el centro del cìrculo que es la base inferior del tanque.

El peso específico (peso por unidad de volumen donde peso=mg ) del agua es $\rho=1000kg/m^{3}$

La fuerza va a ser proporcional al volumen de cada disco de agua m $^{3}$

; el trabajo para sacar cada disco de agua es

Es como si el tanque se estuviera vaciando por discos (o capas horizontales).Cada disco de líquido se desplaza distancias diferentes hasta salir al nivel del suelo en este caso

a) MATH Julios

b) MATH Julios

Note que la diferencia no es en la expresión de la fuerza ni de la distancia sino la cantidad de agua o en general de líquido que se va a bombear.

Se podrían haber tomado los ejes de manera que el eje quedara sobre la base superior del tanque, el eje coincidente con el eje del tanque pero orientado hacia abajo, y el origen en el centro de la base superior, con lo cual MATH si el tanque està lleno de agua

Ejemplo 4:La forma del tanque es ahora semiesférico y el radio es de 3m. El tanque está lleno
de agua y la base queda adyacente al suelo.

Lo que más facilita los cálculos es poner los ejes con el origen en el centro de la circunferencia que es la base, el eje orientado hacia el fondo del tanque. Esta vez las secciones perpendiculares al eje son circunferencias pero no tienen un área constante.

es la distancia que le falta a cada disco de líquido para llegar a su posición final.
Cada punto de coordenadas esta sobre una circunferencia de ecuación $x^{2}+y^{2}=9$

Como MATH Julios

Si es llenado en vez de vaciado el procedimiento es el mismo; la distancia para que cada capa de líquido llegue a su posición final estará determinada por como coloque los ejes

Ejemplo 5: ?`Cúal es el trabajo necesario para llenar el tanque semiesférico del ejemplo 4 por debajo, con un
líquido de peso específico $\rho$ ?

a) Tomando los ejes como en el ejemplo anterior, el origen es el centro de la circunferencia.

MATH Julios

b) Tomando ahora los ejes en el fondo del tanque, siendo la parte positiva del eje hacia arriba.

La circunferencia tendrá como ecuación

MATH Julios

TRABAJO DE LEVANTAR OBJETOS CONTRA LA FUERZA DE GRAVEDAD:

En los siguientes ejemplos, vamos a considerar al eje x como el eje vertical.

Ejemplo 6: Un bote está anclado de modo que el ancla está 100 metros directamente debajo del eje en que se enrolla su cadena. El ancla pesa 3000kg la cadena 20kg/m: ?`Cúal es el trabajo necesario para subir el ancla?

Hay dos clases de trabajo, el trabajo para levantar el ancla sola, donde la fuerza es constante, y el de enrollar el cable donde la fuerza es variable, puesto que a medida que este se enrolla, el peso ( la fuerza) es menor

Si llamamos al eje donde se enrolla la cadena y se toma el origen donde se agarra el ancla

Así ;

MATH Julios

Ejemplo 7: Se va a subir una cubeta que pesa 6kg y contiene 25kg de arena mediante un cable
de 45 metros que pesa 10kg. El balde llega arriba con 12kg de arena. Cúal es el
trabajo necesario para subir el balde?

Hay tres trabajos parciales; el trabajo de subir la cubeta, el trabajo de subir el cable y el trabajo de subir la arena.

En el trabajo de subir el balde la fuerza es constante puesto que el peso de éste no varía durante el trayecto.

En el de subir el cable la función fuerza es y

En el de subir la arena entonces la función fuerza tampoco es constante puesto que llega arriba con kg fuerza es $25-\frac{13}{45}x$ y

MATH

MATH Julios