SEDE BOGOTA DNSAV

Momentos y Centros de Masa

Lección 3.

Momentos y Centros de Masa

Suponga que cinco masas puntuales ( esto es teórico en realidad ) están situadas sobre una recta

Sea $x_{i}$ la distancia dirigida ( quiere decir que es en el sentido habitual, si $m_{i}$ está a la derecha de $x_{i}>0$ y si $m_{i}$ está a la izquierda de $x_{i}<0$ )

El momento de $m_{i\text{ }}$ con respecto a está definido como o en general con masas y el centro de masa del sistema como

Ejemplo 1: Si las masa son de 1,3,1,2,4 repectivamente y están localizadas en los puntos (1,0)
( $\frac{3}{2},0)$ (-2,0) (-3,0) (- $\frac{7}{2},0)$ ; este es el punto en que se
equilibraría el sistema si se sostuviera en ese punto con un alfiler esa recta que no
tiene peso y que tiene las masa así distribuídas

Si ahora se toman masas puntuales $m_{i}$ distribuidas en diferentes puntos del plano

Momento con respecto al eje y =

( porque $x_{i}$ es la abscisa del punto y por lo tanto la distancia dirigida al eje

)

Momento con respecto al eje x =

( porque $y_{i}$ es la ordenada del punto y por lo tanto la distancia dirigida al eje

)

MATH = MATH =

( es sel centro de masa del sistema

Ejemplo 2: masas de 2,2,1,3,1,4 gramos están localizadas respectivamente en los puntos (1,1)
(2,3) (4,6) (-3,1) (-2,-2) (-4,-1) . Encontrar el centro de masa del sistema

En el punto se encuentra localizado el centro de masa de este sistema.

Este sería el punto donde se equilibraría, sostenido por un alfiler, el sistema suponiendo que las masas están distribuidas sobre una lámina extremadamente delgada que no tiene peso.

CENTRO DE MASA DE UNA REGIÓN PLANA.
La región plana se va a tomar como una lámina bidimensional de densidad $\rho$ ( en g/cm $^{2}$ o kg/m $^{2}$ o lb/p $^{2}$ )

Si una región tiene un ejes de simetría, el centro de masa (si la densidad es uniforme ) estará sobre el o los ejes de simetría: Así un circulo tendrá su centro de masa en el centro que es el punto de intersección de los diámetros, un rectángulo en el punto de corte de sus diagonales, o en el punto de intersección de las rectas que bisectan sus lados.

Sea la región plana limitada por la curva , las rectas , y el eje .
Consideremos una partición del intervalo
Se toma .
Consideremos el rectángulo. Este tiene como base $x_{i}-x_{i-1}$ y altura $f(t_{i})$ .
El centro de masa de un rectángulo como ese está localizado en

El momento de un rectángulo con respecto al eje es	$\underbrace{\rho }$	y
el momento de un rectángulo con respecto al eje es	$\underbrace{\rho }$

Por lo tanto
Haciendo el razonamiento usual para cuando la norma de la partición tiende a y para tomar el
límite de cada una de las sumas
MATH , cuando
MATH
MATH

Como siempre es mejor tratar de manejar el concepto que usar las ``fórmulas'' porque así se puede adaptar a otro tipo de situación por ejemplo para cuando en la región la curva está dada en términos de así como el intervalo de integración.

La densidad termina simplificándose al ser uniforme y la expresión de cada denominador termina siendo el área de la región.

Ejemplo 3: Encontrar el centro de masa de la región limitada por un arco de la función $y=senx\;$ y el eje

Tomando el arco para

MATH

que es una respuesta lógica puesto que la recta $x=\frac{\pi}{2}$ es eje de simetría y que $\overset{\_}{y}$ debe quedar más hacia que hacia por la forma de la gráfica

Ejemplo 4:Encontrar el centro de masa de la región limitada por la curva $x=y^{2}-4y$ y el eje .

MATH

que también es una respuesta lógica dado que es eje de simetría, que $\overset{\_}{x}$ tiene que ser negativo y por la forma de la gráfica más hacia 0 que hacia el vértice que queda en

CENTRO DE MASA DE UNA REGIÓN PLANA COMPRENDIDA ENTRE DOS CURVAS.

Basado en el mismo proceso que se hizo para la región plana limitada por una sola curva , usando centro de masa de un iésimo rectángulo y siendo para todo se deduce

Lo cúal conlleva a las integrales

habiendo simplificado $\rho$

Ejemplo 5: Encontrar el centro de masa de la región limitada por las gráficas de $y=x^{2}$ y
$y=\sqrt{x}$ . Los puntos de intersección de las curvas son y

MATH
Siendo la recta eje de simetría de la región parece razonable la respuesta

Ejemplo 6: Encontrar el centro de masa de la región limitada por la curva $x=y^{2}-4y$ y la
recta

Los puntos de intersección de las dos gráficas se obtienen con

y los puntos son $\left( 0,4\right)$ y

MATH

Los centros de masa obtenidos cuando la densidad es uniforme se llaman centroides

Ejemplo 7: Encontrar el centroide de la región plana de densidad compuesta del triángulo de vértices en los puntos $( -1,0) \ ( 0,1)$ y y por el cuadrado localizado inmediatamente debajo del triángulo

1) Sin integración

Masa del triángulo

Como la región tiene un eje de simetría que es el eje $y\ \$ $\overset{\_}{x}=0$

Las medianas del triángulo( rectas que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto ) son ejes de simetría y éstas se intersectan a $\frac{1}{3}$ de la distancia del lado correspondiente,en el punto que será el centroide del triángulo; por lo tanto éste estará en y como