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| Lección 4. |
Teorema de Pappus para volúmenes
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Un matemático griego que perteneció a la escuela de Alejandría (284-305), Pappos o Pappus, y que cultivó la matemática y la mecánica teórica estableció una relación entre centroides y sólidos de revolución, así como con superfecies de revolución.
Teorema de Pappus para volúmenes.
Sea una región plana R de área A, que se hace rotar alrededor de una
línea recta que está en su plano pero pero que no intersecta la
región ( a lo sumo es frontera de ella ). El volumen V del sólido de
revolución generado es igual al producto del área por la distancia
que recorre el centroide al girar.
Es decir
A
Demostración:
Supongamos que se hace rotar la región R dada alrededor del eje
Si el volumen se plantea por cortezas cilíndricas ( capítulo 3 lección 2) sería:
( 1 )
Por otra parte la abscisa
del centroide es ( después de haber simplificado la densidad )
con lo cual
( 2 )
Al remplazar de la ecuación (1) la integral en (2) se obtiene
Con lo cual
distancia
recorrida por el centroide
Area de la región
Ejemplo 1: Encontrar el volumen obtenido al rotar la región limitada al rotar la elipse de ecuación
alrededor de la recta
El centroide de la elipse se encuentra en el origen.Su distancia al eje de rotación es 2
El área de la región elíptica es
.
V=
( unidades cúbicas)
Ejemplo 2: Ahora la región es la misma pero la
rotación es alrededor de la recta de ecuación
Vale la pena recordar que la distancia de un punto de coordenadas
a una recta de ecuación
es
La distancia del centroide
al eje de rotación, está dada por
( unidades cúbicas)
