Vicerrectoría General
Dirección Nacional de Servicios Académicos Virtuales
| Lección 5. |
Integrales impropias
|
Hasta el momento las integrales que se han realizado tienen ambos límites de integración finitos, y la función que se integra es contínua en el intervalo de integración.
Los casos de integrales impropias son justamente donde uno o ambos límites de integración son infinitos o donde el integrando es discontínuo en un número finito de puntos del intervalo de integración.
1)
Se toma un valor
para calcular
y luego se hace tender
a
.
Es decir
Si el límite existe la integral se dirá que es convergente de lo contrario es divergente.
Ejemplo 1: Encontrar el área de la región limitada
por la curva
la recta
y el eje
Como la curva es siempre positiva
Area
Es decir que el área si se puede medir y vale 1. Uno podría pensar
que la curva se vuelve asíntotica al eje
``rapidamente'' y que por lo tanto la porción que hay entre la curva y el
eje
se vuelve muy pequeña y llega a ser despreciable.
Ejemplo 2: Mirar si
es convergente
luego es convergente; mirando que la curva es positiva en el intervalo
se puede decir que éste valor es el área bajo la curva
Ejemplo 3: Calcular si esto es posible el área bajo la
curva
con
Como
para
Area
=
Entonces el área no se puede medir porque la integral es divergente.
2)
Se toma un valor
para calcular
y luego se hace tender
hacia
-
Es decir
Ejemplo 4: La región limitada por la curva
el eje
,
el eje
rota alrededor del eje
;
encontrar el volumen del sólido obtenido.
Utilizando discos
Volumen
=
Ejemplo 5: Determinar si
es convergente o divergente
utilizando fracciones parciales
=
Como
es una forma indeterminada se debe mirar si se puede levantar la
indeterminación
Así :
3)
Este caso sería una combinación de los dos numerales anteriores
Pero si la curva tiene alguna simetría se puede aprovechar este hecho para que la integral sea impropia en uno solo de los límites de integración
Ejemplo 6: Encontrar el área limitada por la curva
y el eje
Por lo que la curva es siempre positiva
Area=
.
Pero como la curva es simétrica con respecto al eje
Area
=2
Ejemplo 7: Determinar si
converge o diverge
como se ve en la gráfica es una función impar por lo cual si
existe
por lo tanto
Esto no se hubiera podido decir desde el principio porque perfectamente
podía haber sido divergente y el resultado
no da cero.
es una función contínua en un intervalo
![$\left[ a,b\right] $](graphics/04_05_01__59.png)
existe
Si
es discontínua en
se hace
y si este límite existe se dirá que la integral es convergente si no
que es divergente.
Si
es discontínua en
se hace
con la misma observación anterior
Si
es discontínua en algún número
pero contínua en todos los demás valores
aplicándose sobre el número
lo que se describió
Ejemplo 8: Decir si la integral
converge o diverge
El integrando es discontínuo en 0 entonces
Como
siempre, este resultado me está dando el área bajo la curva
Ejemplo 9: Decir si la integral
es convergente o divergente
El integrando es discontínuo en
luego la integral diverge
Ejemplo 10: Decir si
converge o diverge
Si se pasa por encima de la discontinuidad haciendo
!!!
Resultado absurdo puesto que en todo el intervalo la función es positiva!
Como
es discontínua en 0
Como la región es simétrica con respecto al eje
si
converge
también;
luego es divergente
Ejemplo 11: Muestre que el perímetro de una
circunferencia de radio
es
La ecuación de una circunferencia de centro en
y de radio
es
El perímetro de la circunferencia será la longitud de un cuarto de arco multiplicado por cuatro.
El integrando es discontínuo en
(el denominador se hace
);
En muchas de las aplicaciones que vimos de la integral se presentan estos casos donde hay que hacer uso de integrales impropias.
