Vicerrectoría General
Dirección Nacional de Servicios Académicos Virtuales
| Lección 6. |
Centro de masa de varillas delgadas y alambres (opcional)
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Momento, masa y centro de masa de una varilla o tira delgada a lo largo del eje x.
Supongamos que la masa está distribuida en forma uniforme en toda la
longitud. Haciendo una partición del intervalo
![$\left[ a,b\right] $](graphics/04_06_01__1.png)
en
subintervalos de longitud
,
en cada uno de los cuales la masa es
,
donde
,
donde
la densidad lineal (masa/unidad de longitud). Entonces
el momento del sistema es aproximadamente
con lo cual el centro de masa
es aproximadamente
Si la distribución de la masa es una función contínua, tomando el límite ( como se ha hecho anteriormente en otras aplicaciones ) cuando la norma de la partición tiende a cero
Si la densidad no es uniforme sino está dada mediante una función
por el razonamiento anterior:
Ejemplo 1: Mostrar que el centro de masa de un alambre delgado de densidad
uniforme que se superpone en el eje de las
tiene su centro de masa en el punto medio entre sus extremos.
Solución: Sean
y
los extremos del alambre;
Masa
Momento del
sistema
Ejemplo 2: Para un alambre recto de 15 cm. de longitud, donde la densidad es
directamente
proporcional a la distancia a uno de sus
extremos, encontrar el centro de masa del alambre.
Solución: Superponemos el alambre con el
eje positivo de las
.
La masa del alambre es
El extremo de menor densidad será el que está localizado en el origen y para ese extremo
Si se va a calcular el momento con respecto al extremo de mayor densidad
De manera que el centro de masa
queda a 10cm. del extremo menos
denso o a
del extremo más denso.
Ejemplo 3: La densidad de una varilla está dada por
Encontrar el centro de masa de la varilla.
Solución: Masa de la varilla
Momento
Momento, masa y centro de masa de un alambre
Sea ahora un alambre en forma de un arco de curva
La masa es proporcional a la longitud. Masa=densidad
lineal
longitud
Usando notación diferencial se puede escribir
(
es el diferencial de longitud que se usó
en cap3 lección4). De manera que la masa, suponiendo que la longitud del alambre se puede medir y
que la densidad es una función contínua,
Masa
Cada uno de los momentos, con respecto al eje
y con respecto al eje
son:
siendo entonces
Ejemplo 4: Sea un alambre en forma de semicírculo de radio
,
y densidad constante. Encontar el
centro de masa.
Solución: Tomando el semicículo
simétrico al eje
la
distribución de su masa es simétrica a ese eje
y por lo tanto
.
No hay entonces sino que calcular un momento. La ecuación del
círculo es
En vez de despejar
y derivar, expresión que necesitamos para la longitud, derivando
implícitamente,
La masa será
Masa
(densidad por la longitud del semicículo)
