Centro de masa de varillas delgadas y alambres

 


Lección 6. 
Centro de masa de varillas delgadas y alambres (opcional)

Momento, masa y centro de masa de una varilla o tira delgada a lo largo del eje x.

Supongamos que la masa está distribuida en forma uniforme en toda la longitud. Haciendo una partición del intervalo $\left[ a,b\right] $ en $n $ subintervalos de longitud $\Delta x_{k}$, en cada uno de los cuales la masa es $\Delta m_{k}$, donde MATH, donde $\rho $ la densidad lineal (masa/unidad de longitud). Entonces

$masa=$ MATH

el momento del sistema es aproximadamente MATH con lo cual el centro de masa $\overline{x}$ es aproximadamente

$\overset{-}{x}$ MATH

Si la distribución de la masa es una función contínua, tomando el límite ( como se ha hecho anteriormente en otras aplicaciones ) cuando la norma de la partición tiende a cero

$\overset{-}{x}$ MATH

Si la densidad no es uniforme sino está dada mediante una función $\rho (x)$ por el razonamiento anterior:

$\overset{-}{x}$ MATH

Ejemplo 1: Mostrar que el centro de masa de un alambre delgado de densidad uniforme que se superpone en el eje de las $x$ tiene su centro de masa en el punto medio entre sus extremos.

Solución: Sean $x=a$ y $x=b$ los extremos del alambre; MasaMATH

Momento del sistemaMATH

$\overset{-}{x}$ MATH

Ejemplo 2: Para un alambre recto de 15 cm. de longitud, donde la densidad es directamente
proporcional a la distancia a uno de sus extremos, encontrar el centro de masa del alambre.

Solución: Superponemos el alambre con el eje positivo de las $x$ .

La masa del alambre es MATH

El extremo de menor densidad será el que está localizado en el origen y para ese extremo

MATH

Si se va a calcular el momento con respecto al extremo de mayor densidad

MATH

De manera que el centro de masa $\overset{-}{x}$ MATH queda a 10cm. del extremo menos

denso o a $15-10=5cm.$ del extremo más denso.

Ejemplo 3: La densidad de una varilla está dada por MATH

Encontrar el centro de masa de la varilla.

Solución: Masa de la varilla MATH

MomentoMATH MATH $\overset{-}{x}$ MATH

Momento, masa y centro de masa de un alambre

Sea ahora un alambre en forma de un arco de curva

La masa es proporcional a la longitud. Masa=densidad lineal$\times $longitud

Usando notación diferencial se puede escribir $dm=\rho ds$ ($ds$ es el diferencial de longitud que se usó

en cap3 lección4). De manera que la masa, suponiendo que la longitud del alambre se puede medir y

que la densidad es una función contínua, MasaMATH

Cada uno de los momentos, con respecto al eje $x$ y con respecto al eje $y$ son:

MATH MATH siendo entonces MATH

Ejemplo 4: Sea un alambre en forma de semicírculo de radio $r$, y densidad constante. Encontar el

centro de masa.

Solución: Tomando el semicículo simétrico al eje $y,$la distribución de su masa es simétrica a ese eje

y por lo tanto $\overset{-}{x}$ $=0$.

No hay entonces sino que calcular un momento. La ecuación del círculo es $x^{2}+y^{2}=r^{2}$

En vez de despejar $y$ y derivar, expresión que necesitamos para la longitud, derivando

implícitamente, MATH

MATH

La masa será Masa$=\rho \pi r$ (densidad por la longitud del semicículo)

$\overset{-}{y}$ MATH MATH

 



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