Vicerrectoría General
Dirección Nacional de Servicios Académicos Virtuales
| Lección 7. |
Teorema de Pappus para áreas de superficies (opcional)
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Teorema. Si un arco de una curva plana de longitud
se rota alrededor de una recta que está en su plano, pero que no
intersecta el arco, el área
A
de la superficie de revolución generada, es igual al producto de la
longitud del arco por la distancia recorrida por su centroide.
Demostración: Sea
el eje alrededor se va a rotar el arco de curva. El área de la superficie
generada es
(Capítulo 3 Lección 5
) La ordenada del centro de masa del arco es
al despejar
Sustituyendo en la ecuación que da el área de la superficie,
A
Note que se podría hacer lo mismo tomando
como eje de rotación el eje
,
en este caso
A
( los límites de integración pueden ser en
o en
dependiendo de cual variable se escoja para integrar), la abscisa del centro
de masa del arco es
y que despejando y remplazando se obtiene
A
Ejemplo 1: Usar el teorema de Pappus para encontrar el
centroide del arco semicircular
sabiendo que el área de la superficie de una esfera de radio
es
Si suponemos que la rotación de la curva es alrededor del eje
,
De donde
y
( que fué lo que se encontró en el ejemplo 4 lección 5 )
Ejemplo 2: Encontrar el área de la superficie generada
al rotar el arco semicircular
alrededor de la recta
Tenemos que encontrar la distancia del centro de masa del arco, es decir del
punto
a la recta
.
La distancia es
