SEDE BOGOTA DNSAV

Centro de masa de un sólido de revolución

Lección 8.

Centro de masa de un sólido de revolución (opcional)

Siguiendo el planteamiento que se hizo para la masa en los casos ( en el sistema métrico)

-para láminas planas delgadas: masa =densidad ( unidad de área

- para alambres: masa =densidad ( unidad de longitud

Para volúmenes : masa = densidad ( unidad de volumen

El eje de rotación es eje de simetría y por lo tanto:

Si se rota alrededor del eje , $\overset{-}{y}$ , $\overset{-}{z}$ y habrá entonces que calcular $\overset{-}{x}$

Si se rota alrededor del eje , $\overset{-}{x}$ , $\overset{-}{z}$ y habrá entonces que calcular $\overset{-}{y}$

Como el sólido de revolución ya es en $\QTR{Bbb}{R}^{3},$ las distancias dirigidas que intervienen en cada uno de

los momentos ya son conceptualmente equivalentes a las distancias dirigidas a los ejes , y , pero

se denominan: momento con respecto al plano , M $_{yz}$ ,y momento con respecto al plano M $_{xz}$

Con lo cual usando la notación diferencial que se ha utilizado :

Al rotar alrededor del eje , MATH

Al rotar alrededor del eje ,

Note que: 1) los límites de integración van de acuerdo a la variable de integración que se vaya a usar

de acuerdo a como esté descrita la región que se va a rotar

2) se podría definir una región plana en el plano , o en el plano ,y hacerla rotar

alrededor del eje , con lo cual $\overset{-}{x}$ $=\overset{-}{y}=0$ y $\overset{-}{z}$ MATH siendo M con los

límites de integración adecuados.

Ejemplo: Encontrar el centroide del sólido de revolución obtenido al rotar la región en el primer

cuadrante, limitada por la parábola $y=4-x^{2}$ alrededor:

a) del eje b) alrededor del eje

Gráfica de $y=4-x^{2}$ .

a) El volumen se calcula usando discos y MATH

M MATH $\overset{-}{x}$ MATH

b) El volumen se calcula usando cortezas cilíndricas. Masa =2 $\pi$ MATH MATH

M MATH $\overset{-}{y}$