SEDE BOGOTA DNSAV

Sistema de coordenadas polares

Lección 1.

Sistema de coordenadas polares

En el sistema de coordenadas rectangulares un punto se ubica en el plano mediante distancias

dirigidas a cada uno de los ejes coordenados.

Para ubicar un punto en un sistema de coordenadas polares se usará, un origen que es el polo
(que coincide con el origen en el sistema cartesiano) y un eje polar que es una semirecta dirigida horizontal (por lo tanto coincidente con el eje positivo de las ), de extremo 0.

Un punto tendrá coordenadas r $,\theta )$ . distancia dirigida al polo, $\theta$ ángulo formado por el rayo que va del polo al punto y el eje polar. $\theta$ se mide en radianes.

$\theta>0$ en el mismo sentido que en trigonometría, si al rotar una recta coincidente con el eje

polar hacia el rayo la rotación es contra las manecillas del reloj.

Se define entonces la unidad y nos moveremos sobre circunferencias de radio 1, 2 , $\frac{5}{2}$ etc..

Todo punto que esté sobre la circunferencia de radio 1 tendrá como el valor 1.

Así son todos puntos diferentes con y

son todos puntos diferentes donde $r=\frac{5}{2}$

Entonces la intersección de la circunferencia de radio con el rayo donde se ha medido el

ángulo da la localización del punto .

Qué puede quere decir un Como por ejemplo en $(-1,\frac{\pi}{6})$ ?

Que el punto se halla sobre la prolongación del rayo donde se localizaría el punto si fuera >0.

Esto permite decir que a un punto en coordenadas polares se le pueden asignar diferentes

pares coordenados.

El punto $(\frac{7}{3},0)$ está sobre el eje polar y el punto sobre la prolongación.

RELACIÓN ENTRE EL SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Y POLARES
Si se superponen los dos sistemas ( el eje coincide con y se ubica un punto que en

coordenadas polares será $P=(r,\theta)$ y en coordenadas rectangulares al trazar la

perpendicular desde al eje

$x^{2}+y^{2}=r^{2}$ $x=r\cos\theta$ $y=rsen\theta$

El punto $(1,\frac{\pi}{6})$ tendrá como coordenadas cartesianas

El punto tendrá

Para los puntos dados en coordenadas cartesianas es indispensable localizar el punto gráficamente , puesto que

y esto nos da únicamente valores de y por lo tanto hay que tener especial atención al usar el valor obtenido de

Ejemplo 1: Las coordenadas polares del punto $(-\sqrt{3},-1)$ se obtienen de

; el punto queda localizado en el tercer cuadrante luego \underline \underlineno es posible que sus coordenadas sean $(2,\frac{\pi}{6})$ ; serán $(2,\frac{7\pi}{6})$ o $(-2,\frac{\pi}{6})$

Ejemplo 2: Encontrar las coordenadas polares del punto

$r=\sqrt{2}$

El punto queda localizado en el segundo cuadrante. Si se toma ese valor de positivo el ángulo no puede ser de $-\frac{\pi }{4}.$ El ángulo es $\frac{3\pi }{4}$ ; las coordenadas polares así son

Se puede tomar con ángulo $-\frac{\pi }{4}$ pero entonces se debe tomar el valor de negativo. Así las coordenadas polares del punto son