SEDE BOGOTA DNSAV

Gráficas en coordenadas polares

Lección 2.

Gráficas en coordenadas polares

Las gráficas en coordenadas polares están dadas en la forma $r=f(\theta).$ En principio entonces para trazar una curva hay que hacer una tabla dándole valores a $\theta$ y encontrando los valores correspondientes de .

Sin embargo al igual que en coordenadas rectangulares hay cosas que permiten hacer la gráfica en una forma más racional evitando hacer tantos puntos.

Ejemplo 1: Hacer la gráfica de la curva cuya ecuación es $r=\cos\theta$

Utilizando la tabla

$\theta$

$\frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{2}$

$\frac{2\pi}{3}$

$\frac{3\pi}{4}$

$\pi$

$\frac{5\pi}{4}$

$\frac{4\pi }{3}$

$\frac{3\pi}{2}$

$\frac{5\pi}{3}$

$\frac{7\pi}{4}$

2 $\pi$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{1}{2}$

- $\frac{1}{2}$

- $\frac{\sqrt{2}}{2}$

-1

- $\frac{\sqrt{2}}{2}$

- $\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

y nos damos cuenta que se hubiera podido hacer la

mitad de la tabla puesto que la gráfica es simétrica con respecto al eje polar. Mirando la
ecuación $r=\cos\theta$ sabemos que los valores de coseno en el primer cuadrante y en el cuarto son iguales, así como en el segundo y tercer cuadrantes; cos ; cos

Entonces se pueden enunciar criterios generales para las simetrías que pueda tener una gráfica

SIMETRíA CON RESPECTO AL EJE POLAR:

Criterio I : una gráfica $r=f(\theta )$ es simétrica con respecto al eje polar si

En palabras si al cambiar $\theta$ por - $\theta$ se obtiene el mismo , la gráfica será simétrica al eje polar

Si el punto ( $r,\theta)$ está en la gráfica el punto $(r,-\theta)$ también lo está.

cos( pero si $r=sen(\theta)$ como el criterio allí no se cumple.

Note que con este criterio todas las gráficas que involucren cos $(k\theta )$ son simétricas con el eje polar y que esto permite hacer tablas con menos datos.

SIMETRÍA CON EL EJE $\frac{\pi }{2}$ ( O CON EL EJE ):

Criterio I : Una gráfica $r=f(\theta )$ es simétrica con respecto al eje $\frac{\pi }{2}$ si

En palabras si al cambiar $\theta$ por $\pi-\theta$ se obtiene el mismo valor de la gráfica tendrá ésta simetría.

Si el punto $(r,\theta)$ está en la gráfica el punto $(r,\pi-\theta)$ también lo está.

Por ejemplo para $r=2-2sen\theta$ como ésta gráfica será simétrica con respecto a $\frac{\pi}{2}.$

En términos de la hechura de la tabla para graficar si es necesario se le dan a $\theta$ valores entre - $\frac{\pi}{2}$ y $\frac{\pi}{2}$ y luego se calca lo obtenido, gracias a la simetría.

$\theta$	- $\frac{\pi}{2}$	- $\frac{\pi}{4}$	- $\frac{\pi}{6}$	0	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{2}$
	4	3.414	3	2	1	0.585	0

SIMETRÍA CON RESPECTO AL ORIGEN ( AL POLO )

Criterio I: Una gráfica $r=f(\theta )$ es simétrica con respecto al polo si al cambiar por - se
obtiene el mismo $f(\theta );$ es decir si el punto $(r,\theta )$ está en la gráfica el punto ( $-r,\theta )$
que es simétrico con respecto al origen también lo está.

Por ejemplo luego esta gráfica es simétrica con respecto al polo

Pero hay que observar que sólo las gráficas que contienen $r^{2}$ satifacen este criterio, por lo cual

aprovechando el hecho de que para un punto en coordenadas polares hay varias maneras de dar

su representación, un punto es simétrico al polo si el punto $(r,\theta)$ está en la gráfica, el punto

$(r,\pi+\theta)$ también lo está ( observe la gráfica anterior ) por lo tanto se tiene

Criterio II : una gráfica es simétrica con el origen si

Por ejemplo $r=sen2\theta$ no satisface el criterioI de simetria al polo sinembargo

luego si satisface el criterio II siendo así simétrica con el polo.

Por esta razón también se pueden usar otros criterios para las otras dos simetrías

SIMETRÍA CON RESPECTO AL EJE POLAR

Criterio I : Una gráfica $\ r=f(\theta )$ es simétrica con respecto al eje polar si

En palabras si al cambiar simultáneamente por y $\theta$ por $\pi-\theta$ volvemos a la ecuación $r=f(\theta)$

Por ejemplo $r=sen2\theta$ no satisface el criterio I de cambiar $\theta$ por $-\theta.$ Pero por el criterio II

SIMETRíA CON RESPECTO AL EJE $\frac{\pi }{2}$

Criterio I : Una gráfica es simétrica con respecto al eje si

Para si se usa el criterio I tan

no cumple .

Pero si cumple el criterio II

Es importante ver que en cada par de criterios los puntos si son equivalentes y por eso ambos criterios

para una misma simetría sirven

Que $(r,-\theta)$ es el mismo punto que $(-r,\pi-\theta)$

Que $(r,\pi-\theta)$ es el mismo punto que ( $-r,-\theta)$

Que ( $-r,\theta)$ es el mismo punto que $(r,\pi+\theta)$

En resumen

Simetría	Criterio I	Criterio II
Con eje polar
Con eje o $\frac{\pi}{2}$
Con el polo u origen

Si una gráfica cumple dos criterios cumple también el tercero

La idea cuando se presenta para trazar la gráfica de una curva en coordenadas polares es utilizar estas herramientas y no pasar la ecuación a coordenadas rectangulares porque, salvo en contadas ocasiones, se obtiene una ecuación implícita complicada .

Por ejemplo $r=2-2sen\theta$ en coordenadas rectangulares es:

que no es una ecuación fácil de graficar