Rectas perpendiculares, intersección de rectas y distancias

 


 Lección 7. 
   Rectas perpendiculares, intersección de rectas y distancias

En la lección pasada se habló de rectas paralelas a una recta dada. Ahora se tratará el caso de rectas

perpendiculares a una recta dada que pase por un determinado punto de $\QTR{Bbb}{R}^{3}$

Rectas perpendiculares a una recta dada que pase por un punto dado hay infinitas. Siempre que los

vectores directores sean perpendiculares las rectas lo son

Ejemplo 1:Encontrar la ecuación de una recta que pase por el punto MATH y que sea perpendicular a la recta de ecuación MATH

Buscamos un vector MATH perpendicular al vector MATH es decir MATH

MATH es una ecuación con tres variables que tiene infinitas soluciones.

Si $d_{1}=1$ y $d_{3}=1$ entonces $d_{2}=-2;$

MATH es una de las rectas que cumple la condición.

Si $d_{2}=0$ y $d_{3}=3$ entonces $d_{1}=-5$

MATH es otra recta que satisface la condición.

Las dos rectas encontradas no son paralelas ( sus vectores directores no son múltiplos).

Pero, alguna de las rectas intersecta la recta dada?

Si las rectas se intersectan debe haber un punto MATH común a ambas.Por lo tanto igualando

MATH Se resuelve el sistema de tres ecuaciones

MATH utilizando matriz aumentada del sistema

MATH haciendo MATH MATH
MATH MATH
$-5F_{2}+F_{3}$ MATH que dice que el sistema es inconsistente

y por lo tanto las rectas no se intersectan

Nota: es importante que para plantear la intersección de las rectas se usen parámetros diferentes

en cada una. Pues para un valor de un parámetro en una y para otro valor del parámetro en

la otra se obtendrá ( si lo hay ) el punto de intersección.

Ejemplo 2: Encuentre el punto de intersección de las rectas MATH
y MATH .

MATH

remplazando en la primera y tercera ecuación $t=\frac{ k+9}{7}=1$ y MATH

Por lo tanto si $k=-2$ y si $t=1$ se obtiene el punto de intersección que es MATH

Más relevante que encontrar cualquier recta perpendicular a una recta dada como se mostró

anteriormente, es el deencontrar la recta ortogonal a una recta dada, que pase por un punto

determinado y que la intersecte. La recta es única.


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Además la norma del vector director de la recta encontrada será la distancia del punto determinado

a la recta dada.

Ejemplo 3: Encontrar la ecuación de la recta $L$ que pasa por el punto MATH y es perpendicular
a la recta $L^{\prime }$ de ecuación MATH y la distancia del punto
MATH a la recta $L^{\prime }$

Sea MATH el punto de intersección de ambas rectas

1) El vector director de la recta $L$ es MATH que es perpendicular a MATH

MATH

2) El punto MATH MATH

3) Remplazando las ecuaciones obtenidas en 2) en la ecución obtenida en 1)

MATH

es el valor del parámetro que permitirá encontrar el punto MATH

4) Remplazando en las ecuaciones obtenidas en 2) MATH

MATH MATH MATH

5) El vector director de la recta $L$ es MATH MATH MATH

MATH Ecuación vectorial de $L$ MATH

6) La distancia del punto MATH a la recta $L^{\prime }$ es la magnitud del vector MATH

MATH

Más que una `` fórmula'' son estos los pasos que hay que seguir para encontrar la recta con las condiciones dadas, así como la distancia.

Sea MATH el punto que está dado y no pertenece a la recta a la cual se le va a encontar la recta

perpendicular

Sea MATH el punto de intersección de las dos rectas

Sea $L^{\prime}$ la recta dada de ecuación MATH

1) Plantear el vector director de la recta pedida MATH este es perpendicular a $D$

luego MATH esto produce una ecuación con tres incógnitas.

2) MATH ; de aquí se sacan las ecuaciones paramétricas

3) Las ecuaciones obtenidas en 2) se remplazan en la ecuación obtenida en 1) con lo cual se obtiene

el valor del parámetro

4) Con el valor de $k$ se obtiene el punto MATH y por lo tanto ya se obtiene el vector director de

la recta buscada.

5) La magnitud del vector director es la distancia del punto MATH a la línea $L^{\prime}$

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS DE $\QTR{Bbb}{R}^{3}$

En $\QTR{Bbb}{R}^{3}$ hay rectas que no son paralelas pero que no se intersectan como se vió en el ejemplo 1, por lo tanto se puede calcular la distancia entre ellas, entendida como la menor distancia


Sean MATH y $L_{2}$ MATH

El producto vectorial de $D_{1}$ con $D_{2}$ da un vector perpendicular a cada uno de ellos. El vector $P_{1}P_{2}$

es un vector que va del punto $P_{1}$ de $L_{1}$ a $P_{2}$ de $L_{2}$ . La magnitud de la proyección de $P_{1}P_{2}$ sobre

$D_{1}\times D_{2}$ dará la distancia buscada.

Ejemplo 4: Encontrar la distancia entre las rectas $L_{1}$ MATH
MATH
y

Lo primero que habría que verificar es que las dos rectas no se intersecten, en este caso esto

se hizo en el ejemplo 1

El producto cruz de los vectores directores es detMATH

Un vector que va de una línea a la otra es MATH

MATH es la distancia entre las dos rectas.

 



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