Bienvenidos al curso de Álgebra Lineal del Departamento de Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia.
Se invita a los visitantes a leer la
siguiente información sobre el contenido, los objetivos y los
aspectos metodológicos del curso.
El material que se ofrece corresponde a un curso básico de álgebra lineal sobre cuerpos y abarca dos grandes ramas del álgebra lineal: una parte algebraica que va desde el concepto de espacio vectorial hasta el estudio de la forma canónica de Jordan. Este material se aborda en los primeros seis capítulos. La segunda parte del curso tiene que ver con los aspectos geométricos del álgebra lineal y va desde los espacios euclidianos hasta el estudio de las formas cuadráticas.
En la primera parte se destacan tres teoremas que son fundamentales para un estudio detallado de las formas canónicas clásicas: una versión completa del teorema de Hamilton-Cayley, el Teorema de Descomposición Irreducible y el Teorema de Descomposición Cíclica. Como aplicación de estos teoremas a las formas canónicas se considera el problema de clasificación de transformaciones lineales y matrices por medio de similaridad y equivalencia.
En la segunda parte se realiza el estudio de las diversas clases de operadores sobre espacios euclidianos y unitarios, y se consideran las formas bilineales sobre cuerpos arbitrarios.
Objetivo General: Reconocer y aplicar las teorías, métodos y técnicas del Álgebra Lineal dentro de la matemática y fuera de ella.
Objetivos Específicos:
Reconocer la estructura de espacio vectorial y de transformación lineal en diferentes contextos.
Calcular el rango de sistemas vectoriales utilizando tanto métodos no computacionales como software matemático.
Reconocer la dimensión de un espacio vectorial
Calcular el determinante de matrices de bajas dimensiones utilizando métodos no computacionales. Además, calcular el determinante de matrices de dimensiones superiores utilizando software matemático.
Representar transformaciones lineales en lenguaje matricial.
Calcular la inversa de matrices de bajas dimensiones utilizando métodos no computacionales. Además, calcular la inversa de matrices de dimensiones superiores utilizando software matemático.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales pequeños utilizando métodos no computacionales. Además, resolver sistemas superiores de ecuaciones lineales utilizando software matemático.
Calcular valores y vectores propios de matrices y tranformaciones lineales de bajas dimensiones utilizando métodos no computacionales. Además, calcular valores y vectores propios de matrices y tranformaciones lineales de dimensiones superiores utilizando software matemático.
Calcular el polinomio característico y el polinomio mínimo de matrices de bajas dimensiones. Además, calcular el polinomio característico y el polinomio mínimo de matrices de dimensiones superiores utilizando software matemático.
Determinar mediante criterios teóricos si una matriz cuadrada de baja dimensión es diagonalizable, triangulable, diagonalizable en bloques, racionalizable o diagonalizable en bloques de Jordan. En caso afirmativo calcular la forma canónica correspondiente.
Determinar mediante criterios teóricos si dos matrices cuadradas de bajas dimensiones son similares. En caso afirmativo calcular una matriz invertible que las haga similares.
Calcular bases duales en espacios vectoriales de bajas dimensiones.
Calcular bases ortonormales en espacios euclidianos y unitarios de dimensión finita.
Reconocer matrices y transformaciones simétricas, antisimétricas, unitarias, ortogonales y normales.
Calcular la matriz y el rango de una forma bilineal definida sobre espacios de bajas dimensiones.
Reducir formas cuadráticas sobre espacios de bajas dimensiones a una suma de cuadrados.
Aspectos metodológicos
Para un mejor aprovechamiento del presente curso es conveniente que el lector esté familiarizado con cursos elementales de matemáticas a nivel de cálculos y álgebra intermedia. Sin embargo, no se necesitan conceptos previos de Álgebra Lineal. En este sentido el curso puede ser utilizado por cualquier persona que requiera de elementos básicos de Álgebra Lineal y que cuente con los requisitos mínimos mencionados anteriormente.
El material se ofrece en lecciones cortas en donde se presentan las ideas básicas, ilustradas con ejemplos y complementadas con ejercicios. Esto permite al lector no especializado y no interesado en demostraciones, realizar un rápido paseo por los aspectos relevantes del álgebra lineal. Para lectores interesados en mayor rigor matemático se le ofrecen enlaces (links) a las pruebas de la gran mayoría de las afirmaciones y teoremas. Las demostraciones omitidas son un reto para los lectores avanzados.
Una de las características más importantes del formato web de un curso es la posibilidad de establecer enlaces entre partes de una misma lección, entre diferentes lecciones y, lo más interesante, entre diferentes localidades web (por ejemplo, entre nuestro curso y otros cursos, revistas, materiales didácticos, etc., que se encuentran en la red de internet). Este aspecto metodológico y técnico de un curso en línea lo hace mucho más dinámico que un curso tradicional ofrecido en un aula convencional. El cubrimiento de un curso en línea es por supuesto ilimitado y además permite su constante mejora y actualización. Las posibilidades de intercambio de ideas y materiales se hacen también inmensamente mayores que en un curso tradicional.
Para el intercambio de ideas, materiales y para la formulación de preguntas se puede usar el correo electrónico. En la portada del curso se encuentran las direcciones electrónicas de los autores, quienes estarán siempre dispuestos a atender las preguntas e inquietudes de los visitantes que sean de interés dentro del curso . También se ofrece una página de visitas en donde los lectores pueden hacer sus comentarios, preguntas y sugerencias. Para usuarios registrados se ofrecen servicios especiales de encuentro virtual tales como charlas, y anuncios. Estas actividades se programan oportunamente a los estudiantes en la base de datos a través del aplicativo WebCT. El acceso se puede realizar a través de la web sin ningún plug-in adicional. Sin embargo, es IMPORTANTE configurar el navegador con la opción de "Comprobar si hay nuevas versiones de las páginas guardadas cada vez que se visita la página" (en el caso de Internet Explorer, esto se configura por Opciones de internet ... Configuración) ó en caso del navegador Netscape "Nunca compare el documento de la red con el del cache" (esto se configura por Preferencias .... Avanzadas .... Cache). Para ingresar use el botón de identificación si ya está registrado.
A pesar de que el estudio de cursos a través de internet no impone horarios ni plazos determinados para cumplir con las tareas y evaluaciones, se recomienda a los lectores tener en cuenta el siguiente cronograma:
Cronograma sugerido
| Capítulos | No. de semanas |
|---|---|
| Capítulo 1. Espacios Vectoriales | 1 |
| Capítulo 2. Transformaciones Lineales | 2 |
| Capítulo 3. Matrices | 1 |
| Capítulo 4. Determinantes | 2 |
| Capítulo 5. Polinomio Característico | 1 |
| Capítulo 6. Formas Canónicas | 3 |
| Capítulo 7. Espacios Duales | 1 |
| Capítulo 8. Producto Interno | 2 |
| Capítulo 9. Formas Bilineales | 2 |
| Capítulo 10. Formas Cuadráticas | 1 |