SEDE BOGOTA

transformaciones lineales

Lección 4.

Transformaciones Lineales

En el Capítulo 1 se presentó el concepto de isomorfismo para grupos y anillos; en esta lección se mostrará la importancia de esta noción para el caso de los espacios vectoriales.

Una transformación lineal $T:V\rightarrow W$ es inyectiva si para cualesquiera elementos $u,v\in V$ se cumple que:

MATH

se dice sobreyectiva si .

Proposición 1. Si $T\,:V\rightarrow W$ es una transformación lineal, entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1. es inyectiva.

2. $N(T\,)=0$ .

3. Si son vectores L I de , entonces son vectores LI de $Im(T\,)$ .

4. Si es una base de , entonces es una base de $Im(T\,)$ .

En particular, si y son espacios de dimensión finita $n\geq1$ , entonces es inyectiva si y sólo si es sobreyectiva.

Demostración

Se dice que es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Dos -espacios y se dicen isomorfos si existe una transformación lineal biyectiva de en . Esta relación entre y se denota por $V\cong W$ .

Siendo biyectiva, existe la función inversa de definida por

MATH

donde $w\in W$ y $v\in V$ . Es obvio que $T\,\,^{-1}$ es también una tranformación lineal y cumple las siguientes condiciones:

MATH

Nótese que $T\,\,^{-1}$ es la única transformación de en que cumple estas identidades, y se le conoce como la transformación inversa de . Se ha visto que una transformación lineal biyectiva tiene inversa, ésta es única y viene caracterizada por las identidades anteriores.

Nótese que la relación "ser isomorfo" es una relación de equivalencia en la colección de todos los -espacios. Es también claro que la composición de dos isomorfismos es nuevamente un isomorfismo.Un isomorfismo de un espacio en si mismo se denomina un automorfismo de . La colección de todos los automorfismos de un espacio se denota por $Aut_{K}(V)$ . Se tiene entonces inmediatamente el siguiente resultado.

Proposición 2. Si es un -espacio, entonces $Aut_{K}(V)$ es un grupo respecto de la composición de transformaciones con elemento neutro $I_{V}$

Una consecuencia inmediata de la Proposición 1 es el siguiente corolario.

Corolario 1. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1. es inyectiva

3. es sobreyectiva

5. es un automorfismo.

El siguiente teorema pone de manifiesto la importancia del concepto de isomorfismo para el caso de los espacios vectoriales.

Teorema 3. Salvo isomorfismos, el único -espacio de dimensión $n\geq 1$ es sucesiones reales convergentes $K^{n}$ . Más exactamente, si es un -espacio de dimensión $n\geq 1$ , entonces $V\cong K^{n}$ .

Demostración

Corolario 2. Dos espacios vectoriales de dimensión finita sobre un mismo cuerpo son isomorfos si y sólo si sus dimensiones coinciden.

Demostración

Las versiones en dimensión infinita del Teorema 3 y del Corolario 1 serán estudiadas en la próxima lección. Cerramos esta lección con tres ejercicios para los visitantes.

Ejercicio 3. Sean $T:V\rightarrow W$ , $S:W\rightarrow U$ transformaciones lineales, donde y son espacios de dimensión finita $n\geq 1$ . Demuestre que:

(a) y .

(b) .

(d) Si y es biyectiva, entonces . Si es biyectiva, entonces .

Solución

Ejercicio 4. Sea $\QTR{bf}{R}[x]$ el espacio de los polinomios reales y sea definida por

Probar que es una transformación lineal inyectiva pero no es sobreyectiva ( Este ejemplo ilustra que el Corolario 1 no es válido en dimensión infinita).

Ejercicio 5. Sean números reales diferentes y sea definida por

$R_{n}[x]$

Demuestre que es una transformación lineal. Calcule $\dim N(T)$ y ?` En que caso es inyectiva, en que caso es sobreyectiva ?

Solución

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