SEDE BOGOTA

matrices

Lección 5.

Equivalencia y Similaridad

El Teorema 3 y Corolario 3 de la lección anterior inducen los conceptos de equivalencia y similaridad de matrices que se estudian en esta lección. Esto permitirá presentar una matriz de rango $r\geq 0$ en una forma bastante simple por medio de una matriz equivalente.

Sean y matrices de tamaño $m\times n$ , se dice que es equivalente a , lo cual se denota por $A\sim B$ , si existen matrices invertibles de orden y de orden tales que

Para las matrices cuadradas, además del concepto de equivalencia, se tiene otro de mayor uso como es el de similaridad: sean y matrices de orden , se dice que es similar a , lo cual se denota por $A\approx B$ , si existe una matriz invertible de orden tal que

$B=C^{-1}AC.$

Para las matrices cuadradas similaridad implica equivalencia, pero no necesariamente se da el recíproco. Es claro que $\sim$ define una relación de equivalencia en el espacio $M_{mn}(K)$ y $\approx$ define una relación de equivalencia en el álgebra $M_{n}(K)$ , por lo tanto, estos conjuntos quedan particionados en clases de equivalencia.

Sea $T:V\rightarrow W$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ en un espacio de dimensión finita $m\geq 1$ . Sean $X_{1},X_{2}$ bases de y $Y_{1},Y_{2}$ bases de (véase el Teorema 3 de la lección anterior), entonces siendo y se tiene que $A\sim B$ , es decir, si y representan la misma transformación lineal en diferentes bases, entonces $A\sim B$ . Se quiere mostrar que el recíproco también es cierto. Sean y matrices equivalentes de tamaño $m\times n$ . Entonces existe invertible de orden y invertible de orden tales que Sea una base de y una base de ; sabemos que $C^{T}$ y $D^{T}$ son matrices invertibles y que $Z=C^{T}\,X$ es una base de y $U=D^{T}\,Y$ es una base de (véase la Proposición 7). Según la Proposición 6, es la matriz de cambio de la base de a y es la matriz de cambio de a . Por el paso 2 de la demostración del Teorema 1, es la matriz de una transformación $T_{1}$ en las bases y es la matriz de una transformación $T_{2}$ en las bases , es decir, $A=m_{X,U}\,(T_{1})$ y $B=m_{Z,Y}\,(T_{2})$ . Se tiene entonces que

pero como $m_{Z,Y}$ es una función inyectiva (por ser un isomorfismo, Teorema 1), entonces $T_{1}=T_{2}$ .

Se ha probado la siguiente proposición.

Proposición 8. Dos matrices $A,B\in M_{mn}(K)$ son equivalentes si y sólo si representan la misma transformación lineal.

Del Corolario 3 y a partir de que similaridad implica equivalencia, se tiene inmediatamente el siguiente resultado.

Proposición 9. Dos matrices $A,B\in M_{n}(K)$ son similares si y sólo si representan la misma transformación lineal.

La idea ahora es calcular el número de clases de equivalencia determinados por la relación $\sim$ en el espacio $M_{mn}(K)$ .

Proposición 10. Sea $A\in M_{mn}(K)$ . si y sólo si es equivalente a una matriz de la forma

MATH

donde es la matriz idéntica de orden , $0\leq r\leq m$ (el caso corresponde a la matriz nula).

Demostración

Es conveniente anotar que la proposición anterior no es válida en general para similaridad. En efecto, si es una matriz cuadrada de rango , entonces no es necesariamente similar a una matriz de la forma descrita en la proposición. Por ejemplo, la matriz

MATH

tiene rango , sin embargo no existe una matriz invertible tal que

MATH

Corolario 4. Dos matrices y de $M_{mn}(K)$ son equivalentes si y sólo si tienen el mismo rango.

En efecto, Si $A\sim B$ , entonces y representan una misma transformación lineal , y por lo tanto, De otra parte, la Proposición 10 y la transitividad de la relación $\sim$ demuestran la afirmación recíproca.

El corolario anterior no se tiene para la relación de similaridad, es decir, dos matrices cuadradas pueden tener el mismo rango y no ser similares. El mismo contraejemplo mostrado arriba sirve en este caso.

Corolario 5. La relación $\sim$ determina una partición del espacio $M_{mn}(K)$ en $t=\min \{m,n\}+1$ clases de equivalencia.

Demostración

Corolario 6. Sea $A\in M_{mn}(K)$ . Entonces, $A^{T}$ En otras palabras, el rango de una matriz coincide con el máximo número de filas L I.

Demostración