SEDE BOGOTA

matrices

Lección 6.

Matrices Invertibles

El método para calcular la inversa de una matriz mediante operaciones sobre las filas y columnas será completamente explicado y justificado en esta lección.

Sea $E_{rs}$ la base canónica del álgebra $M_{n}(K)$ , se definen los siguientes tres tipos de matrices elementales :

a) Transvecciones: son matrices cuadradas de orden de la forma

MATH

donde $a\in K$ está ubicado en la intersección de la i-ésima fila y la j-ésima columna, y es la idéntica de orden n.

b) Permutaciones:. son matrices cuadradas de orden de la forma

MATH

es decir, intercambia las filas i y j de la matriz idéntica. Los índices son cualesquiera, el caso corresponde a la matriz idéntica.

c) Diagonales: son matrices cuadradas de orden de la forma

MATH

donde $a\in K-\{0\}$ , $1\leq i\leq n$ , es decir, $D_{i}(a)$ coincide con la matriz idéntica salvo en la entrada en la cual aparece ubicado el elemento . Si , entonces $D_{i}(a)=E$ .

Las matrices elementales son invertibles:

$P_{ij}^{-1}=P_{ij}$

La multiplicación, a izquierda o derecha, de una matriz $A\in M_{mn}(K)$ por cada una de las matrices elementales tiene un efecto interesante sobre sus filas y columnas. Estos efectos se conocen como operaciones elementales sobre las filas y columnas de una matriz:

a) $T_{ij}(a)\,A$ implica sumar a la i-ésima fila de su j-ésima fila multiplicada por . $\$ De otra parte, $AT_{ij}(a)$ indica sumar a la j-ésima columna de la
i-ésima multiplicada por .

b) $P_{ij}\,A$ intercambia las filas i y j de la martiz . El intercambio de las columnas i, j de se obtiene mediante el producto $AP_{ij}.$

c) El producto $D_{i}(a)A$ corresponde a multiplicar la i-ésima fila de por el escalar El producto $AD_{i}(a)$ corresponde a multiplicar la i-ésima columna de por

Teorema 4 Toda matriz invertible se puede factorizar como un producto finito de matrices elementales.

Demostración

Corolario 7. Sean $A,B\in M_{mn}(K)$ . Entonces, $A\sim B$ si y sólo si se obtiene relizando operaciones elementales sobre las filas y/o columnas de .

El Teorema 4 justifica plenamente el algoritmo para determinar la inversa de una matriz mediante la realización de operaciones elementales sobre sus filas y columnas. En efecto, sea $A^{-1}$ la inversa de la matriz , entonces $A^{-1}$ se puede expresar como un producto de matrices elementales, . Entonces, $\,A^{-1}$ , pero cada matriz elemental representa una operación elemental sobre las filas de , entonces, realizando estas mismas operaciones sobre las filas de obtenemos $A^{-1}$ , es decir, (La relación $AA^{-1}=E$ indica que el trabajo se puede hacer también por columnas). De acuerdo a lo anterior, se puede construir la matriz ampliada

y realizar operaciones elementales sobre sus filas hasta obtener la idéntica en la parte izquierda, en la parte derecha aparecerá precisamente la inversa de .

El resultado del Teorema 4 combinado con el Corolario 3 y el Corolario 6 puede también ser usado para calcular el rango de una matriz, o lo que es lo mismo, el rango de un sistema finito de vectores de $K^{m}$ . En efecto, realizando operaciones elementales sobre las filas y o columnas de una matriz es posible reducirla a otra en la cual se pueda determinar por simple inspección cual es su rango.

Ejercicio 6. Expresar la matriz como producto de matrices elementales; calcule además la inversa de

MATH

Ejercicio 8. Determine el rango del siguiente sistema de vectores: .