SEDE BOGOTA

matrices

Lección 2.

Transformaciones Lineales y Matrices

Teorema1. Sean y dos espacios vectoriales sobre un cuerpo con dimensiones $n,m\geq 1$ , respectivamente. Entonces, .

Demostración. Paso 1 : Matriz de una transformación lineal . La idea es definir una función

$m_{X,Y}:$

que asocia a cada transformación lineal $T:V\rightarrow W$ una matriz ; la matriz de la transformación se define de la siguiente manera: Sea una base de y una base de , el vector $T(v_{j})$ admite una expansión en términos de la base en la siguiente forma.

Los coeficientes $a_{ij}$ de las expansiones anteriores, dispuestos por columnas, determinan la matriz

MATH

Se dice entonces que $=m_{X,Y\,}(T)$ es la matriz de T en las bases X,Y . Es fácil probar que $m_{X,Y}$ es una transformación lineal inyectiva.

Paso 2 : Transformación lineal definida por una matriz . Resta probar que $m_{X,Y}$ es sobreyectiva. Para esto se asocia a cada matriz una transformación lineal $T\in L_{K\,}(V,W)$ de tal forma que $m_{X,Y}\,(T)=A$ . La transformación se define de la siguiente manera: consideremos la función

$t:X\rightarrow W$

donde $1\leq j\leq n$ . Según el Teorema 2 del Capítulo 2, la función se extiende de manera única a una transformación lineal , definida de la siguiente manera: si , entonces

donde

, $1\leq i\leq m.$

Es obvio que $m_{X,Y\,}(T)=A.$ Esto completa la prueba del teorema.

Una observación final antes de terminar: si se identifica a como el vector de coordenadas de en la base y a como el vector de coordenadas de en la base , entonces la transformación se puede expresar matricialmente de la siguiente manera:

MATH

$\Box$