SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 6.

Forma CanÓnica Racional

Proposición 12. Toda matriz cuadrada de orden $n\geq 1$ es similar a una y sólo una matriz racional de la forma (1) descrita arriba. Los polinomios se conocen como los factores invariantes de la matriz .

Demostración. Sea la base canónica de $K^{n}$ y una transformación lineal tal que es la matriz de en la base $\ Y$ . Sea una matriz racional de la forma (1) similar a la matriz Existe entonces una base en $K^{n}$ tal que $A=m_{X}(T)$ . Queremos demostrar que entonces $K^{n}$ tiene una descomposición cíclica en la forma

$K^{n}=$

En efecto, si la matriz racional tiene un solo bloque, entonces según la Proposición 11 y el Corolario 7, tiene un vector cíclico y así $K^{n}=[v]$ . Si el número de bloques de es $r\geq 2$ , entonces de acuerdo a la Proposición 7, $K^{n}$ se descompone en la forma

de tal manera que si $T_{i}$ es la restricción de a $W_{i}$ y $X_{i}$ es una base de $W_{i}$ , el bloque $A_{i}$ de es . Aplicando nuevamente la 11 y el Corolario 7, se tiene que $W_{i}$ tiene un vector cíclico no nulo $v_{i}$ , de donde $W_{i}=$ $[v_{i}]$ , $1\leq i\leq r.$ Esto completa la prueba de la descomposición enunciada arriba.

Si fuese similar a otra matriz racional , entonces $K^{n}$ tendría otra descomposición , pero por la unicidad del Teorema de Descomposición Cíclica se tiene que $\Box$