SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 1.

Polinomio MÍnimo

El polinomio característico de una matriz, o de una transformación lineal, es un instrumento para calcular sus valores propios; en esta lección se estudia el polinomio mínimo de matrices y transformaciones lineales, el cual resulta muy útil para establecer criterios sobre la posibilidad de reducir matrices a formas canónicas simples.

Sea un espacio vectorial de dimensión finita $n\geq 1$ sobre un cuerpo y sea $L_{K}(V)$ el álgebra de las transformaciones lineales del espacio . Sea $T\in L_{K}(V)$ , se sabe que la dimensión de $L_{K}(V)$ es $n^{2}$ (véase la Lección 2 del Capítulo 3). Entonces existen escalares no todos iguales a cero tales que , es decir, es raíz del polinomio no nulo Así pues, se puede asegurar que existe al menos un polinomio no nulo tal que . Sea la de todos los polinomios que son anulados por , en se puede escoger un polinomio no nulo que tenga grado mínimo, además se puede suponer que el coeficiente de correspondiente al término de mayor grado es 1, es decir, que es mónico. Con estas condiciones para se puede demostrar que cualquier otro polinomio de es múltiplo de . Esto implica que si en existiera otro polinomio mónico del mismo grado de , es decir de grado mínimo, entonces . Se ha entonces encontrado un polinomio especial asociado a la transformación , dicho polinomio se denotará por $q_{T}(x)$ y se llamará el polinomio mínimo de T .

La discusión anterior la podemos realizar también para cualquier matriz de tamaño $n\geq 1$ , de tal forma que podemos definir el polinomio mínimo de A, el cual denotaremos por $q_{A}(x)$ . Como es de esperarse se tiene el siguiente resultado.

Proposición 1. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ y sea una base cualquiera de . Si es la matriz de en la base , entonces $q_{T}(x)=q_{A}(x)$ .

Puesto que dos matrices similares representan la misma transformación lineal, entonces se tiene el siguiente corolario.

Corolario 1. Matrices similares tienen el mismo polinomio mínimo.

El siguiente teorema establece una importante relación entre el polinomio característico y el polinomio mínimo.

Teorema 1 (Hamilton - Cayley). Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión $n\geq 1$ , $p_{T}(x)$ su polinomio característico y $q_{T}(x)$ su polinomio mínimo. Entonces, . También, si es una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$ , entonces $q_{A}(x)\,|\,$ $p_{A}(x).$

Demostración

Las raíces en del polinomio mínimo y del polinomio característico coinciden.

Proposición 2. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión $n\geq 1$ (o también, sea una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$ ). Sea $\QTR{bf}{a\in K}$ . Entonces, $p_{T}(a)=0$ si y sólo si $q_{T}(a)=0$ (también, $p_{A}(a)=0$ si y sólo si $q_{A}(a)=0$ ). En particular, si es un cuerpo algebraicamente cerrado (véase la Lección 2 del capítulo anterior), entonces las raíces del polinomio mínimo y el coinciden.

Demostración

Ejercicio 1. Calcular el polinomio mínimo de las siguientes matrices:

MATH