SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 2.

Forma CanÓnica Triangular

En el capítulo anterior consideramos la primera forma canónica que puede tener una matriz (transformación): la forma diagonal. Por los criterios establecidos allí se puede observar que no toda matriz es diagonalizable, aún en cuerpos algebraicamente cerrados. En esta lección estudiamos una forma canónica menos exigente que la diagonal: la forma canónica triangular.

Una transformación de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ es triangulable si existe una base en tal que la matriz de en dicha base es triangular superior. Una matriz cuadrada $A=[a_{ij}]$ de orden $n\geq 1$ es triangulable si y sólo si es similar a una matriz triangular superior.

Proposición 3. Sea una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . Sea una base de y $A=m_{X}(T)$ . Entonces, es triangulable si y sólo si es triangulable.

El polinomio mínimo es un buen instrumento para establecer criterios de triangulación y diagonalización de matrices y transformaciones. Los Teoremas 2 y 3 que probaremos adelante requieren de algunos preliminares que enseguida entramos a considerar.

Sea una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . Un subespacio de se dice que es -invariante , o invariante respecto de , o simplemente, invariante, si $T(W)\subseteq W$ . Con cada transformación hay siempre asociados algunos subespacios invariantes triviales: ; además si es un polinomio y es la transformación polinomial correspondiente, entonces , $\func{Im}(p(T))$ son subespacios invariantes de

Si es una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq1$ y es un subespacio invariante respecto de , entonces induce una transformación lineal

es decir, $T_{W}$ es la restricción de a . Los polinomios mínimo y característico de $T_{W}$ guardan estrecha relación con los correspondientes polinomios de .

Proposición 4. Si es una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ y es un subespacio invariante no nulo, entonces el polinomio característico de $T_{W}$ divide al polinomio característico de . La misma relación se tiene para los polinomios .

Demostración

Sea una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq1$ y un subespacio invariante. Sea un vector cualquiera de , entonces el conjunto

se denomina el -ideal generado por en , o simplemente, el ideal generado por , si por el contexto es claro que nos referimos a y En tal caso escribiremos simplemente . Este conjunto tiene las siguientes propiedades:

a) es no vacío y no nulo.

b) es un subespacio de (véase la Lección 2 de Capítulo 1).

c) Para cada $t(x)\in K[x]$ y cada $p(x)\in I(v)$ se tiene que $t(x)p(x)\in$

d) $I(0)=K[x]\,.$

e) Si , entonces $I_{0}^{T}(v)$ se conoce como el -anulador del vector , o simplemente, el anulador del vector . Nótese que $I_{0}^{T}(v)=K[x]$ si y sólo si .

f) Existe un polinomio mónico $q_{v}(x)$ de grado mínimo en $I_{W}^{T}(v)$ tal que cualquier otro polinomio de $I_{W}^{T}(v)$ es múltiplo de él. En particular, $q_{T}(x)$ es múltiplo de $q_{v}(x)$ . $q_{v}(x)$ se denomina el polinomio mínimo del vector relativo a y a . Cuando , $q_{v}(x)$ se conoce también con el nombre de el anulador del vector .

El último preliminar requerido para demostrar los Teoremas 2 y 3 es la siguiente .

Proposición 5. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . Supóngase que el polinomio mínimo de es de la forma

donde $a_{i}\in K$ son valores diferentes, $1\leq r_{i}\leq n$ , $1\leq i\leq k$ , $1\leq k\leq n.$ Si $W\neq V$ es un subespacio invariante, entonces existe un vector $u\in V$ tal que $u\notin W$ y $(T-aI_V)(u)\in W$ , para algún valor propio de

Demostración

Teorema 2. Sea una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . es triangulable si y sólo si el polinomio $\text{m\U{ed}nimo}$ de es de la forma

donde $a_{i}\in K$ son valores diferentes, $1\leq r_{i}\leq n$ , $1\leq i\leq k$ , $1\leq k\leq n.$ La afirmación del teorema también se cumple si es una matriz cuadrada de orden $n\geq1$ .

Demostración

Corolario 2. En un cuerpo algebraicamente cerrado cada transformación lineal de un espacio de dimensión finita es triangulable. La afirmación también se cumple si es una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$ .

Teorema 3. Sea una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . es diagonalizable si y sólo si el polinomio $\text{m\U{ed}nimo}$ de es de la forma

donde $a_{i}\in K$ son valores diferentes, $1\leq i\leq k$ , $1\leq k\leq n.$ La afirmación del teorema también se cumple si es una matriz cuadrada de orden $n\geq1$ .

Demostración

Ejercicio 2. Determinar si la matriz

MATH

es triangulable sobre los reales. En caso afirmativo encontrar una matriz real triangular similar a la matriz .

Solución

Ejercicio 3. Sea un cuerpo algebraicamente cerrado y sea $T:V\rightarrow V$ una transformación de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . Demostrar que en existen subespacios invariantes de dimensiones tales que

Solución