SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 3.

DiagonalizaciÓn en Bloques

Otra forma relativamente simple que puede tener una matriz o transformación es la forma diagonal en bloques. En esta lección hacemos una introducción a esta forma canónica la cual complementaremos más adelante.

Sea $A=[a_{ij}]$ una matriz de orden $n\geq 1$ . Se dice que es una matriz diagonal en bloques si o si para $n\geq 2$ existen $r\geq 2$ enteros positivos tales que es de la forma

MATH

donde $A_{i}$ es una matriz de orden $k_{i}$ . Nótese que Una transformación lineal $T:V\rightarrow V$ de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ es diagonalizable en bloques si existe una base en tal que la matriz de en dicha base es diagonal en bloques. Finalmente, una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$ es diagonalizable en bloques si es similar a una matriz diagonal en bloques.

Proposición 6. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . Sea una base cualquiera de . Entonces, es diagonalizable en bloques si y sólo si $m_{X}(T)$ es diagonalizable en bloques.

Si es una transformación lineal de un espacio de dimensión , entonces es trivialmente diagonalizable en bloques. Consideremos el caso $n\geq2$ .

Proposición 7. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 2.$ Entonces, es diagonalizable en bloques si y sólo si es suma directa de $2\leq r\leq n$ subespacios invariantes no triviales.

Demostración

Corolario 3. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 2.$ Supóngase que es diagonalizable en bloques y sea una descomposición de en suma de $2\leq r\leq n$ subespacios invariantes no triviales. Sea $T_{i}$ la restricción de a Entonces

b) $p_{T}(x)$ $p_{T_{r}}(x).$

c) $q_{T}(x)$ m.c.m{ , $q_{T_{r}}(x)$ }

Estas relaciones se tienen también para matrices diagonales en bloques de la forma (1) definida arriba.

Demostración