SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 5.

El Teorema de DescomposiciÓn CÍclica

Otro de los teoremas fuertes del álgebra lineal de las formas canónicas es el teorema de descomposición que estudiaremos en la presente lección. Para su formulación necesitamos algunos preliminares relacionados con el subespacio cíclico generado por un vector.

Sea un espacio vectorial de dimensión finita $n\geq1$ , $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal y un vector cualquiera de . El conjunto

es claramente el menor subespacio invariante de que contiene al vector . Este subespacio se conoce con el nombre de el -subespacio cíclico generado por . Cuando no haya lugar a confusión, diremos simplemente que es el subespacio cíclico generado por el vector . $\text{N\U{f3}tese}$ que

$[v]_{T}=$ $<T^{k}(v)|k\geq 0>$

Mas exactamente, donde es el grado del polinomio mínimo de la transformación . El vector se dice que es un vector cíclico de si $[v]_{T}=V$ . De manera similar se define el subespacio $[\alpha ]_{A}$ , donde es una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$ sobre el cuerpo y $\alpha$ es un vector cualquiera de $K^{n}.$ $\$ En este contexto , $\alpha$ es un vector cíclico de la matriz si

Proposición 9. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ y sea una base de . Entonces, el vector es un vector cíclico de si y sólo si es un vector cíclico de la matriz de en la base .

Demostración

A continuación presentamos algunas propiedades evidentes de :

b) es un vector propio de

c) Sea $v\neq 0$ , y $q_{v}(x)$ su polinomio anulador. Entonces $\dim ([v])=$ grado ( $q_{v}(x)$ ). Mas exactamente, si grado $q_{v}(x))=k$ , entonces es una base de

d) Sea $T\,_{[v]}$ la restricción de a . Entonces, el polinomio mínimo de $T\,_{[v]}$ coincide con el anulador $q_{v}(x)$ del vector

e) Si es un vector cíclico de , entonces

Ya estamos en capacidad de enunciar el segundo teorema central del presente capítulo.

Teorema 5 (de descomposición cíclica). Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . Entonces existen $r\geq 1$ vectores no nulos en con polinomios anuladores tales que

Además, el entero y los polinomios anuladores están unívocamente determinados por a) y b), es decir, si existen otros vectores no nulos con anuladores tales que se cumplen a) y b), entonces y para cada $1\leq i\leq r.$

Demostración