cap1. SISTEMAS LINEALES

 


 Lección 1.2.  
   Diferenciales Exactas y Factor Integrante


Estudiaremos en esta sección ecuaciones diferenciales de la forma


MATH


donde MATH es una función de dos variables. La ecuación (1.2.1) constituye la forma general de las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden uno. Veamos algunos casos cómo tratar (1.1.1).

a) Supongamos que MATH En este caso (1.2.1) nos conduce a la siguiente relación general


MATH


para alguna constante $c.$

Ejemplo: La solución $y\left( x\right) $ de la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}=$ MATH satisface la siguiente relación

MATH


b) MATH es homogénea de grado cero$.$ Esto es, MATH En este caso escribiremos


MATH


Si llamamos $z=\frac{y}{x}$ obtenemos


MATH



por lo tanto MATH . Así obtenemos


MATH


estableciendo con ello una relación entre $z$ y $x$ . Despues usamos la relación $z=\frac{y}{x}$ para obtener la relación entre $y,$ solución de la ecuación, y la variable independiente $x.$

Ejemplo En la ecuación MATH vemos que MATH es homógenea de grado cero. Es fácil ver que por (1.2.4) se cumple que


MATH


c) Otra manera de presentar las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden uno es


MATH


que puede escribirse en la forma (1.2.1) tomando MATH Si cada una de las funciones $M$ y $N$ son homogéneas del mismo grado, digamos $n,$ ésto es, MATH entonces MATH es homogénea de grado cero y su resolución se reduce al caso b).

Si podemos hallar una función MATH tal que MATH y MATH diremos que la ecuación (1.2.5) es exacta y la solución general de la ecuación viene dada por la relación MATH En efecto: Si tomamos la ecuación MATH y le aplicamos la regal de la cadena a ambos miembros obtenemos (1.2.5).

Una condición necesaria y suficiente para que la ecuación (1.2.5) sea exacta es, entonces, que el campo vectorial MATH sea conservativo o potencial, ésto es, que exista algún MATH tal que MATH Si el dominio de definición de las funciones $M$ y $N$ es conexo entonces dicha condición es


MATH


y la función MATH se calcula así:


MATH


donde MATH es cualquier punto del dominio de definición de las funciones $M$ y $N.$ Por ejemplo, si MATH la anterior ecuación toma la forma


MATH


Ejemplo La ecuación MATH es exacta. En efecto


MATH


De (1.2.6) obtenemos


MATH


La solución será $xe^{y}+y^{2}=c.$

Factor integrante Si la ecuación (1.2.5) no es exacta es probable que exista una función MATH tal que


MATH


sí sea exacta. Esta función $\mu $ es conocida con el nombre de factor integrante. Es claro que las soluciónes generales de (1.2.7) y (1.2.5) son las mismas puesto que ambas ecuaciones son equivalentes. Para que (1.2.7) sea exacta es necesario y suficiente que


MATH


esto equivale a que


MATH


Hallar una MATH que cumpla (1.2.8) puede ser casi imposible, no obstante hay casos en que se puede hallar fácilmente. Así:

1. Si MATH sólo depende de la variable $x,$entonces podemos encontrar un $\mu $ que sólo depende de $x$ y por (1.2.8) obtenemos


MATH


la cual produce


MATH


Por lo tanto una función $\mu $ que nos sirve como factor integrante será


MATH


2. Si MATH sólo depende de la variable $y,$entonces podemos encontrar un $\mu $ que sólo depende de $y$. Como en el caso 1. encontramos que


MATH


Ejemplo La ecuación MATH $0$ no es exacta. No obstante observamos que


MATH


Por (1.2.10) llegamos a que MATH es un factor integrante de la ecuación. Podemos entonces resolver la ecuación diferencial


MATH


y su solución general es la solución general de la ecuación inicial.


Ejercicios

1. Halle la solución de MATH
.

2. Halle el valor de $n$ para que la ecuación MATH sea exacta y halle su solución.

3.Halle el factor integrante de MATH
.

4. Halle la solución de la ecuación MATH
.

5. Halle la solución de la ecuación MATH Haga el cambio de variable $z=yx^{-n}$ para un $n$ adecuado.

 



Universidad Nacional de Colombia
Carrera 30 No 45-03 - Edificio 477
Bogotá D.C. - Colombia

Aviso Legal - Copyright
Gobierno en LíneaAgencia de Noticias UN