Vicerrectoría Académica
Dirección Nacional de Innovación Académica

Capítulo 2 : DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Distribuciones de variables aleatorias continuas

Distribución Exponencial

Notación:

MATH

Introducción  

Antes de introducir la variable exponencial puede mirarse un origen natural de ésta a partir de una variable aleatoria Poisson, la cual indica el número de veces que ocurre un evento en una unidad de tiempo. Si se escribe la función de probabilidad Poisson de la siguiente manera:

MATH $x=0,1,2,...$

la probabilidad de que no ocurra algún evento, en el periodo hasta el tiempo $t$ está dada por:

MATH

De esta manera, puede definirse ahora una variable aleatoria continua $X$ que mide el tiempo que tarda en ocurrir el primer evento de Poisson. Es decir,

MATH

Lo que permite construir la función de distribución acumulada así:

MATH

Al derivar, con respecto a $X$ se tiene la función de densidad de la variable aleatoria exponencial $X$.

Definición

La variable aleatoria $X$ que es igual a la distancia (o tiempo) entre ocurrencias sucecesivas de un proceso Poisson con media $\lambda >0,$ tiene una distribución exponencial con parámetro $\lambda .$

Función de densidad de Probabilidad:

MATH

Valor esperado: MATH Varianza: MATH

Observaciones:

1. En la definición de la variable aleatoria exponencial, ésta se plantea como tiempo que tarda en ocurrir el primer evento Poisson. Sin embargo, esta definición puede hacerse extensiva a las demás unidades de medición consideradas en los eventos de Poisson, por ejemplo, cantidad de metros de carretera que deben recorrerse hasta que aparezca el primer bache, cantidad de $m^{2}$ que deben inspeccionarse en una hacienda hasta que aparezca el primer cafetal de broca, etc.

2. En el lenguaje de las aplicaciones también se utiliza la distribución exponencial para modelar tiempo entre eventos, distancia entre eventos, volumen entre eventos.

Ejemplo

Supóngase que la duración de los instrumentos electrónicos D$_{1}$ y D$_{2}$ tienen distribuciones Exponenciales asi : DMATHDMATH

Cual se debe preferir para usarlo durante un periodo de 45 horas?

Debería preferirse aquel instrumento que de mayor garantía de duración para un mínimo de tiempo como el requerido, es decir, debe calcularse la probabilidad de que el instrumento dure por lo menos 45 horas, en cada caso.

MATH

MATH

El instrumento dos tiene mayor probabilidad de tener duración de 45 o más horas.

Comprueba los anteriores resultados utilizando la función de distribución.

Cómo citar este material

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Mendoza, H, Bautista, G. (2002). Probabilidad y Estadística. Universidad Nacional de Colombia, http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/. Licencia: Creative Commons BY-NC-ND.