Capítulo 6: PRUEBA DE HIPOTESIS
Lección 2: Prueba de hipótesis sobre la media muestral
CASO 1. La varianza poblacional es conocida
Si se supone que se conoce la varianza poblacional 
,
entonces sobre la base del Teorema Central del Límite, la
distribución muestral de la media seguiría una distribución
normal y bajo la veracidad de la hipótesis nula, la estadística de
prueba es:
Que se distribuye normal estándar con media 
y varianza 
.
Ejemplo 2
Suponga que se está interesado en determinar si hay evidencia que el
aumento de peso promedio de unos animales a los dos meses de aplicar una
determinada dieta es de 20Kg. Se conoce que el aumento de peso sigue una
distribución normal con varianza 
.
Paso 1.
Paso 2.
El nivel de significancia o probabilidad de cometer un error Tipo I en esta
prueba sería 
Se tomará una muestra de 
animales.
Los datos son:
| 16.5 | 16.4 | 18.5 | 19.5 | 20.2 | 21.0 | 18.5 | 19.3 | 19.8 | 20.3 |
Paso 3
Puesto que se conoce la varianza poblacional, la prueba estadística a
utilizar es la prueba 
:
la cual bajo la hipótesis nula se distribuye normal estándar com
media 
y varianza 
.
Paso 4.
Figura 5. Región crítica para la hipótesis nula con varianza conocida
Los valores críticos se determinan buscando en la tabla de
distribución normal estándar acumulada el valor de 
para
un área de 0.025, el valor obtenido es 
,
el valor de 
será
el mismo 
,
luego la regla de decisión para la hipótesis será no rechazar 
si 
Paso 5
Como 
entonces
el valor de la estadística de prueba 
está
dado por:
Se compara el valor calculado de la prueba con los valores críticos
(obtenidos de la tabla de distribución normal estándar), para
determinar si cae en la región de rechazo o de no rechazo. En este caso 
.
Se encuentra dentro de la región de no rechazo puesto que 
.
En este caso no se rechaza la hipótesis nula.
Paso 6
Se deben expresar las consecuencias de la decisión de la prueba de hipótesis en términos del problema real de que se trate. Por lo tanto, en este problema, se llega a la conclusión de que hay evidencia de que el peso promedio de los animales sea 20Kg.
Ejercicio
Calcule el valor p para el ejemplo anterior.
Valor 
CASO 2. La varianza poblacional es desconocida
En la mayoría de los casos, se desconoce la varianza poblacional y debe
ser estimada utilizando la varianza muestral 
. Bajo el supuesto de que la población es normal y la
hipótesis nula cierta, la estadísitica de prueba
seguirá una distribución T con 
grados de libertad.
Ejemplo 3
Suponga que en el ejemplo anterior se desconoce la varianza poblacional y se
estima por el valor de la varianza muestral, que es 
.
Para realizar la prueba, los pasos 1 y 2 son idénticos al ejemplo
anterior.
Paso 3
La prueba estadística a usar es:
Paso 4
Figura 6.. Región crítica para la prueba de Hipótesis con varianza desconocida
Los valores de 
se
obtienen buscando en la tabla de la distribución T con 9 grados de
libertad y un área acumulada de 0.975, que corresponde a 2.262, el valor
de 
es
el opuesto de 
,
es decir, 
Así, la regla de decisión será no rechazar Ho si 
Paso 5
Hallar el valor de:
Paso 6
Se llega a la conclusión que existe evidencia, que el peso promedio de los animales sea de 20Kg.
Ejercicio 1
Para el tipo de suelo A pruebe la hipótesis de que la media poblacional es:
a) Diferente de 500.
b) Mayor de 500.
c) Menor de 500.
