A.1 Espacios vectoriales

A.1.1 Estructuras algebráicas básicas

Definición A.1   Grupo
Un conjunto $\Gamma$ dotado de una operación binaria $\oplus$ tiene estructura de grupo si la operación satisface las siguientes propiedades:

G.1

Clausurativa (Cerradura): $\forall\; x,y \in \Gamma\quad x \oplus y\in \Gamma$

G.2

Asociativa: $\forall\; x,y,z \in \Gamma\quad (x \oplus y) \oplus z=x \oplus (y \oplus z)$

G.3

Modulativa: $\exists\; 0 \in \Gamma\;\vert\; \forall x \in \Gamma\quad x \oplus 0=x$

G.4

Invertiva: $\forall\; x \in \Gamma\quad \exists\;(-x) \;\vert\; x \oplus (-x)=0$

Definición A.2   Grupo conmutativo
Un conjunto $\Gamma$ dotado de una operación binaria $\oplus$ tiene estructura de grupo conmutativo o grupo abeliano si la operación satisface las propiedades de grupo y:

G.1

Conmutativa: $\forall\; x,y \in \Gamma\quad x \oplus y=y \oplus x$

Ejemplo A.1   El conjunto $\Gamma=\{a,b,c\}$ dotado con la operación $\oplus$ descrita en la tabla

$\oplus$	$a$	$b$	$c$
$a$	$a$	$b$	$c$
$b$	$b$	$c$	$a$
$c$	$c$	$a$	$b$

tiene estructura algebráica de grupo conmutativo, en donde el módulo 0 de $\oplus$ es el elemento $a$

Ejemplo A.2   El conjunto $\Gamma=\{0,1\}$ dotado con la operación suma usual no tiene estructura de grupo porque no se satisface la propiedad clausurativa ( $1+1=2\not\in\Gamma$). Sin embargo, con la operación $\oplus$ descrita en la tabla sí tiene estructura de grupo

$\oplus$	0	$1$
0	$1$	0
$1$	0	$1$

Definición A.3   Anillo
Un conjunto $\Gamma$ dotado de dos operaciones binarias $\oplus$ y $\otimes$ tiene estructura de anillo si las operaciones satisfacen las siguientes propiedades.

Para la operación $\oplus$

R.1

Clausurativa: $\forall\; x,y \in \Gamma\quad x \oplus y\in \Gamma$

R.2

Asociativa: $\forall\; x,y,z \in \Gamma\quad (x \oplus y) \oplus z=x \oplus (y \oplus z)$

R.3

Modulativa: $\exists\; 0 \in \Gamma\;\vert\; \forall x \in \Gamma\quad x \oplus 0=x$

R.4

Invertiva: $\forall\; x \in \Gamma\quad \exists\;(-x) \;\vert\; x \oplus (-x)=0$

R.5

Conmutativa: $\forall\; x,y \in \Gamma\quad x \oplus y=y \oplus x$

Para la operación $\otimes$

R.1

Clausurativa: $\forall\; x,y \in \Gamma\quad x \otimes y\in \Gamma$

R.2

Asociativa: $\forall\; x,y,z \in \Gamma\quad (x \otimes y) \otimes z=x \otimes (y \otimes z)$

Para las dos operaciones

R.1

Distributiva respecto a $\oplus$: $\forall\; x,y,z \in \Gamma\quad x \otimes (y \oplus z)=(x \otimes y) \oplus (x \otimes z)$

Definición A.4   Anillo modulativo (anillo con unidad)
Un conjunto $\Gamma$ dotado de dos operaciones binarias $\oplus$ y $\otimes$ tiene estructura de anillo modulativo o de anillo con unidad si las operaciones satisfacen las propiedades de anillo y además la operación $\otimes$ satisface:

R.1

Modulativa: $\exists\; 1 \in \Gamma\;\vert\; \forall x \in \Gamma\quad x \otimes 1=1 \otimes x=x$

Definición A.5   Anillo conmutativo
Un conjunto $\Gamma$ dotado de dos operaciones binarias $\oplus$ y $\otimes$ tiene estructura de anillo conmutativo si las operaciones satisfacen las propiedades de anillo y además la operación $\otimes$ satisface:

R.1

Conmutativa: $\forall\; x,y \in \Gamma\quad x \otimes y=y \otimes x$

Definición A.6   Campo
Un conjunto $\Gamma$ dotado de dos operaciones binarias $\oplus$ y $\otimes$ tiene estructura de campo si tiene estructura de anillo conmutativo con unidad.

Ejemplo A.3   Algunos de los campos más conocidos son los reales $\mathbb{R}$, los complejos $\mathbb{C}$ y el conjunto de las funciones racionales de $s$ con coeficientes reales $\mathbb{R}(s)$.

A.1.2 Definición de espacio vectorial

Definición A.7   espacio vectorial
Sea un conjunto $\Gamma$ y $\mathbf{F}:(\Phi ,\oplus,\otimes)$ un campo. A los elementos de $\Gamma$ se les denomina vectores, y a los elementos de $\Phi$ escalares. $\Gamma$ tiene estructura de espacio vectorial sobre $\mathbf{F}$ si está dotado de una operación binaria $+$ (suma vectorial) y una operación $\cdot$ entre elementos de $\Gamma$ y $\Phi$ (producto por escalar) que cumplen las siguientes propiedades:

Para la suma vectorial

V.1

Clausurativa: $\forall\; x,y \in \Gamma\quad x + y\in \Gamma$

V.2

Asociativa: $\forall\; x,y,z \in \Gamma\quad (x + y) + z=x + (y + z)$

V.3

Modulativa: $\exists\; \mathbf{0} \in \Gamma\;\vert\; \forall x \in \Gamma\quad x + \mathbf{0}=x$

V.4

Invertiva: $\forall\; x \in \Gamma\quad \exists\;(-x) \;\vert\; x + (-x)=\mathbf{0}$

V.5

Conmutativa: $\forall\; x,y \in \Gamma\quad x + y=y + x$

Para el producto por escalar

V.1

Clausurativa: $\forall\; x \in \Gamma ,\; \forall\; \alpha \in \Phi\quad \alpha \cdot x\in \Gamma$

V.2

Asociativa: $\forall\; x \in \Gamma ,\; \forall\; \alpha,\beta \in \Phi\quad (\alpha\otimes\beta) \cdot x= \alpha \cdot (\beta \cdot x)$

V.3

Modulativa: $\forall\; x \in \Gamma ,\; 1\cdot x=x$. $1$ es el módulo de $\otimes$

V.4

Anulativa: $\forall\; x \in \Gamma ,\; 0\cdot x=\mathbf{0}$.En donde 0 es el módulo de $\oplus$, y $\mathbf{0}$ es el módulo de $+$

Para las dos operaciones

V.1

Distributiva respecto a $+$: $\forall\;x,y \in \Gamma ,\; \forall \alpha \in \Phi\quad \alpha\cdot(x+y)=(\alpha\cdot x)+(\alpha\cdot y)$

V.2

Distributiva respecto a $\oplus$: $\forall\;x \in \Gamma ,\; \forall \alpha,\beta \in \Phi\quad (\alpha\oplus\beta)\cdot x= (\alpha\cdot x)+(\beta\cdot x)$

Ejemplo A.4   Uno de los espacios vectoriales más conocidos, y que servirá para futuros ejemplos en este capítulo es el formado por $\mathbb{R}^2$ sobre el campo $\mathbb{R}$ con las operaciones usuales. En general, $\mathbb{C}^n$ sobre el campo $\mathbb{C}$ con las operaciones usuales forma un espacio vectorial.

Ejemplo A.5   El conjunto de todos los polinomios sobre el campo $\mathbb{R}$ con las operaciones usuales entre polinomios forma un espacio vectorial.

Ejemplo A.6   El conjunto de todas las funciones contínuas a trozos sobre el campo $\mathbb{C}$ con la operación $+$ definida como la suma punto a punto forma un espacio vectorial.

Ejemplo A.7   El conjunto de todas las matrices de tamaño fijo $m\times n$ sobre el campo $\mathbb{C}$ con las operaciones usuales entre matrices forma un espacio vectorial.

Definición A.8   Subespacio
Sea $V:(\Gamma,+,\cdot,\mathbf{F})$ un espacio vectorial sobre $\mathbf{F}$; sea $\Omega$ un subconjunto de $\Gamma$. Si $W:(\Omega ,+,\cdot,\mathbf{F})$ forma un espacio vectorial sobre $\mathbf{F}$ se dice que $W$ es un subespacio de $V$.

Teorema A.1   Sea $V:(\Gamma,+,\cdot,\mathbf{F})$ un espacio vectorial sobre $\mathbf{F}$; sea $\Omega$ un subconjunto de $\Gamma$. $W:(\Omega ,+,\cdot,\mathbf{F})$ es un subespacio de $V$ si y sólo si $+$, $\cdot$ son cerradas en $\Omega$.

Demostración A.1   Si $+$, $\cdot$ son cerradas en $\Omega$ se satisfacen V.1 y V.6. Las demás propiedades contenidas en la definición E.7 se satisfacen porque $V:(\Gamma,+,\cdot,\mathbf{F})$ es un espacio vectorial; por lo tanto $W(\Omega,+,\cdot,\mathbf{F})$ es un Espacio vectorial y de acuerdo con la definición E.8, es un subespacio de $V$.

Ejemplo A.8   $(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})$ es un subespacio de $(\mathbb{R}^3,\mathbb{R})$, ya que la suma y el producto por escalar son operaciones cerradas en $\mathbb{R}^2$. En general si $n\leq m$ se tiene que $(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ es un subespacio de $(\mathbb{R}^m,\mathbb{R})$

Ejemplo A.9   Una línea recta que cruce por el origen es un subsepacio de $(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})$, ya que: i) la suma de dos vectores que estén sobre una misma recta da otro vector sobre esa recta y ii) el producto por escalar de un vector da otro vector sobre la misma recta.

Ejemplo A.10   El conjunto de los polinomios de orden 2, es un subespacio del conjunto de los polinomios de orden 4 (con las operaciones usuales y sobre $\mathbb{R}$), ya que: i) la suma de dos polinomios de orden 2 da otro polinomio de orden 2 y ii) el producto de un polinomio de orden 2 por un escalar da otro polinomio de orden 2. Se entiende que un polinomio de orden $n$ es un polinomio que no tiene monomios de orden superior a $n$.

A.1.3 Bases

Definición A.9   Combinación lineal
Sea $V:(\Gamma,\mathbf{F})$ un espacio vectorial. Sean $x_1,x_2,\cdots,x_n$ cualesquiera vectores y $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ cualesquiera escalares de $\mathbf{F}$ denominados coeficientes. Una combinación lineal de $x_1,x_2,\cdots,x_n$ es la operación

$$\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n=\sum_{i=1}^n{\alpha_ix_i}$$

Definición A.10   Independencia lineal
Un conjunto de vectores $\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ es linealmente independiente si la única combinación lineal nula se obtiene con coeficientes nulos. Es decir, si

$$\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n=\mathbf{0}\quad \Rightarrow\quad \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_n=0$$

Definición A.11   Dimensión
El máximo número de vectores linealmente independientes en un espacio vectorial $V$ se denomina la dimensión de $V$.

Definición A.12   Conjunto generador
Dado un conjunto de vectores $X=\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$; $S$ es un Conjunto generado por $X$ si es el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de elementos de $X$; se dice que $X$ es un Conjunto generador de $S$ y se denota por

$$S=span(X)=\left\{y\;\vert\;\exists\; \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\;\;y=\sum_{i=1}^n{\alpha_ix_i} \right\}$$

Definición A.13   Base de un espacio vectorial
Un conjunto de vectores $B=\{b_1,b_2,\cdots,b_n\}$ es una base del espacio vectorial $V:(\Gamma,\textbf{F})$ si $B$ es linealmente independiente y genera a $\Gamma$.

Teorema A.2   En un espacio vectorial $V$ de dimensión $n$, cualquier conjunto de $n$ vectores linealmente independientes es una base de $V$.

Demostración A.2   Sea $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ un conjunto arbitrario de $n$ vectores linealmente independientes en $V$. Para demostrar que $A$ es una base de $V$ es necesario demostrar que cubre a $V$, es decir, que cualquier elemento $x$ de $V$ puede expresarse como una combinación lineal de los elementos de $A$.

Debido a que $A$ tiene $n$ elementos, el conjunto $\{x,a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ es linealmente dependiente (tiene $n+1$ elementos y $n$ es el máximo número de vectores linealmente independientes) y por tanto existe una combinación lineal

$$\alpha_0x+\alpha_1a_1+\alpha_2a_2+\cdots+\alpha_na_n=\mathbf{0}$$ (A.1)

con algunos de los $\alpha_i\neq 0$. Es claro que $\alpha_0\neq 0$ por que de lo contrario se obtendría

$$\alpha_1a_1+\alpha_2a_2+\cdots+\alpha_na_n=\mathbf{0}$$ (A.2)

lo que implica que todos los $\alpha_i$ deberían ser cero ya que los elementos de $A$ son linealmente independientes (son una base). Como $\alpha_0\neq 0$ podemos despejar $x$

$$x=\frac{\alpha_1}{\alpha_0}a_1+\frac{\alpha_2}{\alpha_0}a_2+\cdots+\frac{\alpha_n}{\alpha_0}a_n$$ (A.3)

es decir, que existe una combinación lineal de los elementos de $A$ cuyo resultado es $x$, y por lo tanto $A$ genera el espacio vectorial $V$.

Definición A.14   Coordenadas de un vector
Sea $x$ un elemento del espacio vectorial $V$, y $B=\{b_1,b_2,\cdots,b_n\}$ una base de $V$. Si $x=\alpha_1b_1+\alpha_2b_2+\cdots+\alpha_nb_n$ se dice que las coordenadas de $x$ en la base $B$ son los coeficientes de esa combinación lineal $\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\}$. Usualmente se agrupan en un vector

$$\alpha= \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \\ \end{bmatrix}$$

Teorema A.3   Todo elemento $x$ de un espacio vectorial $V$ tiene unas únicas coordenadas en una determinada base $B=\{b_1,b_2,\cdots,b_n\}$

Demostración A.3   Según la definición E.14 $B$ genera a $V$ y por lo tanto existe al menos una combinación lineal de los elementos de $B$ cuyo resultado es $x$, es decir, existen al menos unas coordenadas de $x$ en la base $B$.

Para demostrar que estas coordenadas son únicas, supongamos que existen dos juegos de coordenadas diferentes $\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\}$ y $\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\}$. Según la definición E.14 se tiene

$$\begin{matrix} \alpha_1b_1&+&\alpha_2b_2&+&\cdots&+&\alpha_nb_n & = x\\ \beta_1b_1&+&\beta_2b_2&+&\cdots&+&\beta_nb_n & = x \end{matrix}$$

Al restar estas dos expresiones se obtiene

$$(\alpha_1-\beta_1)b_1+(\alpha_2-\beta_2)b_2+\cdots+(\alpha_n-\beta_n)b_n=\mathbf{0}$$

De acuerdo con la definición E.13, el conjunto $B=\{b_1,b_2,\cdots,b_n\}$ es linealmente independiente, y por lo tanto la única combinación lineal de sus elementos que es nula es la que tiene todos sus coeficientes nulos, por lo tanto $\alpha_i=\beta_i$ para $i=1,2,\cdots,n$ lo que significa que los dos juegos de coordenadas deben ser iguales.

Teorema A.4   Al aumentar los elementos de una base el conjunto resultante es linealmente dependiente.

Demostración A.4   Sea $B=\{b_1,b_2,\cdots,b_n\}$ una base de $V$ y sea $x$ un elemento cualquiera de $V$. Debido a que $B$ genera a $V$ es posible encontrar $\alpha_i$ tales que

$$x=\alpha_1b_1+\alpha_2b_2+\cdots+\alpha_nb_n$$

y por tanto puede escribirse

$$\alpha_1b_1+\alpha_2b_2+\cdots+\alpha_nb_n-x=\mathbf{0}$$

Esta es una combinación lineal nula con coeficientes no nulos (al menos el coeficiente de $x$ es $-1$) y por tanto el conjunto $\{b_1,b_2,\cdots,b_n,x\}$ es linealmente dependiente.

Teorema A.5   Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de elementos que coincide con la dimensión del espacio vectorial.

Demostración A.5   Por el teorema E.2 sabemos que pueden existir bases de tamaño igual a la dimensión. Según las definiciones E.11 y E.13 no puede haber bases con un número mayor de elementos, debido a que este conjunto sería linealmente dependiente, por lo tanto sólo es necesario probar que no puede haber bases con un número de elementos inferior a la dimensión del espacio.

Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$. Supongamos dos bases $B$ y $A$:

$$B=\{b_1,b_2,\cdots,b_n\} \qquad A=\{a_1,a_2,\cdots,a_r\}$$

con $r<n$. Según el teorema E.4 el conjunto $C_1=\{b_1,a_1,a_2,\cdots,a_r\}$ es linealmente dependiente y alguno de los elementos $a_i$ es una combinación lineal de los otros elementos de $C_1$; supongamos que este $a_i$ es justamente $a_r$, (en caso de que no lo sea, reorganizamos el conjunto y cambiamos los subíndices).

El espacio cubierto por $C_1$ es el mismo espacio cubierto por $A$ y por $\{b_1$, $a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_{r-1}\}$, por lo tanto el conjunto $C_2=\{b_2$, $b_1$, $a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_{r-1}\}$ es linealmente dependiente; de nuevo podemos argumentar que alguno de los elementos $a_i$ es una combinación lineal de los otros elementos de $C_2$; supongamos que este $a_i$ es justamente $a_{r-1}$.

Efectuando este procedimiento podemos construir en forma consecutiva $C_3$, $C_4$, $\cdots$, $C_r$, todos los cuales serán conjuntos linealmente dependientes. Sin embargo, $C_r$ es

$$C_r=\{b_r,b_{r-1},\cdots,b_2,b_1\}$$

que es un subconjunto de la base $B$ y por lo tanto no puede ser linealmente dependiente. De esta forma demostramos que $r<n$ es una contradicción. Como consecuencia, todas las bases del espacio vectorial deben tener el mismo tamaño, que coincide con la dimensión del espacio.

Ejemplo A.11   Cualquier pareja de vectores no paralelos en el plano es una base del espacio vectorial $\mathbb{R}^2$

Ejemplo A.12   El conjunto formado por los polinomios $\{1,t,t^2,t^3\}$ forma una base del espacio vectorial de los polinomios de orden 3.

Ejemplo A.13   El espacio vectorial de todos los polinomios tiene dimensión infinita. Una base de ese espacio es la formada por los polinomios $\{1,t,t^2,t^3,\cdots\}$

A.1.4 Cambio de base

Sean $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ y $B=\{b_1,b_2,\cdots,b_n\}$ dos bases del mismo espacio vectorial $V$ de dimensión $n$. Definimos las matrices $\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}$ como las matrices que tienen en sus columnas cada uno de los elementos de las bases $A$ y $B$ respectivamente:

$$\mathbf{A}= \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{B}= \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & \cdots & b_n \end{bmatrix}$$

Un vector $x$ tendrá coordenadas $\alpha_i$ en la base $A$ y $\beta_i$ en la base $B$, de tal manera que

$$\begin{matrix}x=&\alpha_1a_1&+&\alpha_2a_2&+&\cdots&+&\alpha_na_n\\ x=&\beta_1b_1&+&\beta_2b_2&+&\cdots&+&\beta_nb_n \end{matrix}$$ (A.4)

Definimos los vectores columna $\alpha$ y $\beta$ que contienen las coordenadas:

$$\alpha= \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alp... ...a= \begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_n \\ \end{bmatrix}$$

de tal manera que podemos reescribir (E.4) como

$$x= \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{bmatrix}\begin{b... ...lpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \\ \end{bmatrix}=\mathbf{A}\alpha$$

$$x= \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & \cdots & b_n \end{bmatrix}\begin{b... ...} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_n \\ \end{bmatrix}=\mathbf{B}\beta$$

Igualando estas dos expresiones se encuentran las expresiones que permiten encontrar las coordenadas de $x$ en una base a partir de sus coordenadas en la otra:

$$\mathbf{A}\alpha=\mathbf{B}\beta \qquad \alpha=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}\beta \qquad \beta=\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}\alpha \qquad$$ (A.5)

En caso de que $A$ sea la base estándar, la matriz $\mathbf{A}$ resulta ser la matriz identidad de orden $n$ y (E.5) se convierte en

$$\alpha=\mathbf{B}\beta \qquad \beta=\mathbf{B}^{-1}\alpha \qquad$$ (A.6)

Ejemplo A.14   En $\mathbb{R}^2$ puede definirse una base con cualquier pareja de vectores no paralelos. Definamos por ejemplo $A=\{(1,0),(0,1)\}$, $B=\{(3,1),(2,2)\}$ y $C=\{(-1,1)(-1,-1)\}$ (vectores rojos en la figura E.1).

Consideremos ahora el vector $x$ en la figura E.1. Sus coordenadas en la base estándar $A$ serán

$$\alpha= \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$$

Para obtener las coordenadas de $x$ en las bases $B$ y $C$ construimos las matrices $\mathbf{B}$ y $\mathbf{C}$ y empleamos (E.6)

$$\mathbf{B}= \begin{bmatrix} 3&2\\ 1&2 \end{bmatrix}\qquad \mathbf{C}= \begin{bmatrix} -1&-1\\ 1&-1 \end{bmatrix}$$

$$\beta= \begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \end{bmatrix}= \mathbf{... ...rix}\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

$$\gamma= \begin{bmatrix} \gamma_1 \\ \gamma_2 \end{bmatrix}= \math... ...rix}\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}$$

Puede verificarse que las coordenadas en las bases $B$ y $C$ satisfacen las relaciones (E.5)

$$\beta=\mathbf{B}^{-1}\mathbf{C}\gamma \qquad \gamma=\mathbf{C}^{-1}\mathbf{B}\beta$$