A.4 Sistemas de ecuaciones algebráicas

El propósito de esta sección es el de presentar algunas propiedades de las matrices. Para ello, consideramos el sistema de ecuaciones algebráicas:

$$\begin{matrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=y_1 \\ a_{21}x... ..._{2n}x_n=y_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=y_m \end{matrix}$$ (A.13)

que puede escribirse en forma matricial como

$$\mathbf{Ax}=\mathbf{y} \qquad \mathbf{A}= \begin{bmatrix}a_{11}&a... ...\mathbf{y}= \begin{bmatrix}y_{1}\\ y_{1}\\ \vdots\\ y_{m}\\ \end{bmatrix} \quad$$ (A.14)

La ecuación (E.14) puede interpretarse como el sistema de ecuaciones algebraícas (E.13), como una transformación lineal $A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$, o en general como una transformación lineal de un espacio vectorial de dimensión $n$ a otro espacio vectorial de dimensióm $m$ $A:\mathbf{V}\to\mathbf{W}$ con $\dim(\mathbf{V})=n$ y $\dim(\mathbf{W})=m$.

Empleamos esta múltiple interpretación para hacer algunas definiciones y obtener ciertas conclusiones acerca de la existencia y unicidad del sistema de la solución del sistema de ecuaciones algebráicas.

Definición A.26   Codominio
El Codominio de un operador lineal $\mathbf{A}$ es el conjunto $\mathcal{R}(\mathbf{A})$ definido como

$$\mathcal{R}(\mathbf{A})=\left\{\mathbf{y} \vert \exists \mathbf{x},\;\mathbf{y}=\mathbf{Ax}\right\}$$

Teorema A.10   El codominio de un operador lineal $\mathbf{A}:\mathbf{V}\to\mathbf{W}$ es un subespacio de $\mathbf{W}$.

Demostración A.10   Es claro que el codominio $\mathbf{A}$ es un subconjunto de $\mathbf{W}$, es decir $\mathcal{R}(\mathbf{A})\subset\mathbf{W}$. Supónganse dos vectores $\mathbf{y}_1$, $\mathbf{y}_2$ de $\mathcal{R}(\mathbf{A})$. Según la definición E.26 existen dos vectores $\mathbf{x}_1$, $\mathbf{x}_2$ en $\mathbf{V}$ tales que

$$\mathbf{y}_1=\mathbf{A}\mathbf{x}_1 \qquad \mathbf{y}_2=\mathbf{A}\mathbf{x}_2$$

Gracias a la linealidad de $\mathbf{A}$ cualquier combinación lineal de $\mathbf{y}_1$, $\mathbf{y}_2$ puede escribirse como

$$\alpha_1\mathbf{y}_1+\alpha_2\mathbf{y}_2= \alpha_1\mathbf{A}\mat... ...2\mathbf{A}\mathbf{x}_2= \mathbf{A}(\alpha_1\mathbf{x}_1+\alpha_2\mathbf{x}_2)$$

es decir, para cualquier combinación lineal de $\mathbf{y}_1$, $\mathbf{y}_2$ es posible encontrar un elemento $\mathbf{x}\in\mathbf{V}$ tal que $\mathbf{y}=\mathbf{A}\mathbf{x}$ y por lo tanto según el teorema E.1 $\mathcal{R}(\mathbf{A})$ es un subespacio de $\mathbf{W}$.

Definición A.27   Rango
El rango de una matriz $\mathbf{A}$, denotado por $\rho(\mathbf{A})$ es la dimensión del codominio del operador lineal representado por $\mathbf{A}$ (ver figura E.7).

Teorema A.11   El rango de una matriz $\mathbf{A}$ es igual el número de columnas linealmente independientes de $\mathbf{A}$.

Demostración A.11   Si denotamos la $i-$ésima columna de $\mathbf{A}$ como $\mathbf{a}_i$, es decir $\mathbf{A}=[\mathbf{a}_1\;\mathbf{a}_2\;\cdots\;\mathbf{a}_n]$ la ecuación E.14 puede escribirse como

$$\mathbf{y}=x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+\cdots+x_n\mathbf{a}_n$$

es decir, $\mathbf{y}$ es una combinación lineal de las columnas de $\mathbf{A}$ cuyos coeficientes son $x_1,x_2,\cdots,x_n$. El codominio de $\mathbf{A}$ será entonces el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de las columnas de $\mathbf{A}$, es decir $\mathcal{R}(\mathbf{A})=span\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\cdots,\mathbf{a}_n\}$; por lo tanto la dimensión de $\mathcal{R}(\mathbf{A})$, que es $\rho(\mathbf{A})$, será igual al número de elementos linealmente independientes en el conjunto $\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\cdots,\mathbf{a}_n\}$.

Ejemplo A.27   Considérese la transformación lineal de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^2$ representada por $\mathbf{y}=\mathbf{A}\mathbf{x}$ en donde $\mathbf{A}$ es la matriz

$$\mathbf{A}= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Esa transformación toma un punto $(x_1,x_2)$ en el plano y lo convierte en un punto sobre el eje horizontal (figura E.8):

$$\mathbf{y}= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} (x_1 +x_2)\\ 0 \end{bmatrix}$$

El codominio de $\mathbf{A}$, que denotamos por $\mathcal{R}(\mathbf{A})$ resulta ser el eje horizontal, es decir, un subespacio de $\mathbf{R}^2$. La dimensión de $\mathcal{R}(\mathbf{A})$, que es el rango de $\mathbf{A}$, denotado por $\rho(\mathbf{A})$ es entonces $1$. Nótese que el número de columnas linealmente independientes de $\mathbf{A}$ también es $1$.

Ejemplo A.28   Considérese la transformación lineal de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^2$ representada por $\mathbf{y}=\mathbf{A}\mathbf{x}$ en donde $\mathbf{A}$ es la matriz

$$\mathbf{A}= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$$

Esa transformación toma un punto $(x_1,x_2)$ en el plano y lo convierte en un punto sobre la recta de pendiente $1$ (figura E.9):

$$\mathbf{y}= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bm... ...1 \\ x_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} (x_1 +2x_2)\\ (x_1 +2x_2) \end{bmatrix}$$

El codominio de $\mathbf{A}$, que denotamos por $\mathcal{R}(\mathbf{A})$ resulta ser la recta identidad, es decir, un subespacio de $\mathbf{R}^2$. La dimensión de $\mathcal{R}(\mathbf{A})$, que es el rango de $\mathbf{A}$, denotado por $\rho(\mathbf{A})$ es entonces $1$. Nótese que el número de columnas linealmente independientes de $\mathbf{A}$ también es $1$.

En el teorema E.14 se demuestra que el rango de una matriz no se altera al premultiplicarla o posmultiplicarla por matrices no singulares. Esto significa que las operaciones elementales sobre matrices no alteran el rango de una matriz y por lo tanto puede comprobarse que el rango también es igual el número de filas linealmente independientes de la matriz, es decir, para una matriz $\mathbf{A}$ de dimensiones $m\times n$ se tiene que

$$\begin{matrix}\rho(\mathbf{A})& = & \text{Número de columnas L.I.... ...\text{Número de filas L.I.} \\ \rho(\mathbf{A})&\leq & \min{(m,n)} \end{matrix}$$ (A.15)

Además, puede demostrarse que una matriz es no singular si y sólo si todas sus filas y todas sus columnas son linealmente independientes,

Teorema A.12   El sistema de ecuaciones (E.14) donde $\mathbf{A}$ es una matriz $m\times n$ tiene solución para todo $\mathbf{y}$ en $\mathbf{W}$ si y solo si $\mathcal{R}(\mathbf{A})=\mathbf{W}$, o lo que es equivalente, si y sólo si $\rho(\mathbf{A})=m$

Demostración A.12   La demostración se desprende directamente de las definiciones E.26 y E.27

Definición A.28   Espacio Nulo
El Espacio Nulo de un operador lineal $\mathbf{A}:\mathbf{V}\to\mathbf{W}$ es el conjunto $\mathcal{N}(\mathbf{A})$ definido como

$$\mathcal{N}(\mathbf{A})=\left\{\mathbf{x}\in\mathbf{V} \vert\;\mathbf{Ax}=\mathbf{0}\right\}$$

La linealidad del operador permite demostrar que el Espacio Nulo es un Subespacio de $\mathbf{V}$. Esto permite hacer la siguiente definición

Definición A.29   Nulidad
La Nulidad de un operador lineal $\mathbf{A}:\mathbf{V}\to\mathbf{W}$, denotada por $\nu(\mathbf{a})$ es la dimensión del espacio nulo de $\mathbf{A}$

El ejemplo E.29 muestra la relación existente entre el rango y la nulidad de un operador lineal $\mathbf{A}:\mathbf{V}\to\mathbf{W}$, con $\dim(\mathbf{V})=n$ y $\dim(\mathbf{W})=m$ (figura E.10).

$$\rho(\mathbf{A})+\nu(\mathbf{A})=n=\dim(\mathbf{V})$$ (A.16)

Teorema A.13   El sistema de ecuaciones $\mathbf{Ax}=\mathbf{0}$ con $\mathbf{A}$ una matriz $m\times n$ tiene una solución distinta de la trivial si y sólo si $\rho(\mathbf{A})<n$. Si $m=n$ esto es equivalente a decir si y sólo si $\det(\mathbf{A})=0$

Demostración A.13   De la definición E.29 se desprende que el número de soluciones linealmente independientes de $\mathbf{Ax}=\mathbf{0}$ es $\nu(\mathbf{A})$. Para que exista una solución no trivial se necesita que $\nu(\mathbf{A})\geq 1$. Empleando (E.16) esta condición se convierte en $\rho(\mathbf{A})<n$. Si $m=n$ entonces $\mathbf{A}$ es cuadrada y la condición es equivalente a $\det(\mathbf{A})=0$, ya que las columnas de $\mathbf{A}$ serían linealmente dependientes.

Ejemplo A.29   Supóngase el sistema de ecuaciones $\mathbf{Ax}=\mathbf{0}$ donde $\mathbf{A}$ es la matriz $5\times 3$

$$\mathbf{A}= \begin{bmatrix} 0&1&1&0&-1\\ 2&1&3&4&1\\ 1&0&1&2&1 ... ... \mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2&\mathbf{a}_3&\mathbf{a}_4&\mathbf{a}_5 \end{bmatrix}$$

en donde las dos primeras columnas son linealmente independientes, pero las últimas tres no lo son ( $\rho(\mathbf{A})=2$), ya que pueden escribirse como combinaciones lineales de las dos primeras:

$$\mathbf{a}_3=\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2\qquad \mathbf{a}_4=2\mathbf{a}_1\qquad \mathbf{a}_5=\mathbf{a}_1-\mathbf{a}_2$$ (A.17)

El sistema de ecuaciones $\mathbf{Ax}=\mathbf{0}$ puede escribirse como

$$x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+x_3\mathbf{a}_3+x_4\mathbf{a}_4+x_5\mathbf{a}_5=\mathbf{0}$$

$$x_1\begin{bmatrix}0\\ 2\\ 1\end{bmatrix}+ x_2\begin{bmatrix}1\\ 1... ..._5\begin{bmatrix}-1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}$$ (A.18)

Empleando (E.17) la ecuación (E.18) se convierte en

$$(x_1+x_3+2x_4+x_5)\begin{bmatrix}0\\ 2\\ 1\end{bmatrix}+ (x_2+x_3-x_5)\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 0\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}$$ (A.19)

$$(x_1+x_3+2x_4+x_5)\mathbf{a}_1+ (x_2+x_3-x_5)\mathbf{a}_2= \mathbf{0}$$ (A.20)

Como $\mathbf{a}_1$ y $\mathbf{a}_2$ son linealmente independientes, (E.20) sólo puede cumplire si los coeficientes son cero, es decir si

$$\left\{ \begin{matrix}x_1+x_3+2x_4+x_5 & =0 \\ x_2+x_3-x_5 & =0 \end{matrix} \right.$$ (A.21)

El sistema de ecuaciones (E.21) tiene 5 incógnitas y 2 ecuaciones linealmente independientes, es decir, existen 3 grados de libertad para escoger los valores de $x_i$. Dicho de otra forma, $\nu(\mathbf{A})=3$. Nótese que $\rho(\mathbf{A})+\nu(\mathbf{A})=n$ ($2+3=5$), cumpliendo con la ecuación (E.16).

Podemos escoger arbitrariamente los valores de 3 de las incógnitas $x_i$ y deducir el valor de las otras dos, para construir una base de $\mathcal{N}(\mathbf{A})$. Si seleccionamos $x_1$, $x_2$ y $x_3$ como los trios $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ y $(0,0,1)$ tendremos los tres vectores base de $\mathcal{N}(\mathbf{A})$:

$$\begin{bmatrix}1\\ 0\\ 0\\ -1/2\\ 0\end{bmatrix}\qquad \begin{bma... ... 0\\ -1/2\\ 1\end{bmatrix}\qquad \begin{bmatrix}0\\ 0\\ 1\\ -1\\ 1\end{bmatrix}$$

Teorema A.14   Sea $\mathbf{A}$ una matriz $m \times n$ y $\mathbf{C}$, $\mathbf{D}$ dos matrices no singulares cualesquiera $n \times n$ y $m \times m$ respectivamente. En esas condiciones se tiene que

$$\rho(\mathbf{AC})=\rho(\mathbf{A}) \qquad \rho(\mathbf{DA})=\rho(\mathbf{A})$$

Demostración A.14   La demostración se apoya en la desigualdad de Sylvester, que establece que si existen dos matrices $\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}$ de dimensiones $q\times n$ y $n\times p$ entonces

$$\rho(\mathbf{A})+\rho(\mathbf{B})-n \geq \rho(\mathbf{AB})\geq\min(\rho(\mathbf{A}),\rho(\mathbf{B}))$$ (A.22)

Al aplicar (E.22) a $\mathbf{AC}$ y $\mathbf{DA}$ se tiene que

$$\rho(\mathbf{A})+\rho(\mathbf{C})-n \geq \rho(\mathbf{AC})\geq\min(\rho(\mathbf{A}),\rho(\mathbf{C}))$$

$$\rho(\mathbf{D})+\rho(\mathbf{A})-m \geq \rho(\mathbf{DA})\geq\min(\rho(\mathbf{D}),\rho(\mathbf{A}))$$

como $\mathbf{C}$ y $\mathbf{D}$ son no singulares, sus rangos son $n$ y $m$ respectivamente:

$$\rho(\mathbf{A})+n-n \geq \rho(\mathbf{AC})\geq\min(\rho(\mathbf{A}),n)$$

$$m+\rho(\mathbf{A})-m \geq \rho(\mathbf{DA})\geq\min(m,\rho(\mathbf{A}))$$

Por (E.15) se sabe que $\rho(\mathbf{A})\leq\min{(m,n)}$, por lo tanto

$$\rho(\mathbf{A}) \geq \rho(\mathbf{AC})\geq \rho(\mathbf{A})$$

$$\rho(\mathbf{A}) \geq \rho(\mathbf{DA})\geq \rho(\mathbf{A})$$

Las desigualdades sólo pueden cumplirse simultáneamente si se tiene que

$$\rho(\mathbf{A})=\rho(\mathbf{AC}) \qquad \rho(\mathbf{A})=\rho(\mathbf{DA})$$