SEDE BOGOTA DNSAV

3.1 Respuestas de estado cero y de entrada cero

3.1.1 Sistemas continuos

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/analisis/sis_din} }\end{center}$

Supóngase un sistema dinámico lineal continuo como el de la figura 3.1, cuya relación entre la entrada y la salida está descrita por la siguiente ecuación diferencial genérica:

$\displaystyle a_n\frac{d^ny}{dt^n}+\cdots+a_1\frac{dy}{dt}+a_0y(t)= b_m\frac{d^mu}{dt^m}+\cdots+b_1\frac{du}{dt}+b_0u(t)$

(3.1)

o en forma resumida:

$\displaystyle \sum_{i=0}^{n}a_iy^{(i)}(t)= \sum_{i=0}^{m}b_iu^{(i)}(t)$

Al aplicar la transformada de Laplace a esta ecuación se tiene:

$\displaystyle \mathcal{L}\left\{\sum_{i=0}^{n}a_iy^{(i)}(t)\right\}= \mathcal{L}\left\{\sum_{i=0}^{m}b_iu^{(i)}(t)\right\}$

$\displaystyle \sum_{i=0}^{n}a_i\mathcal{L}\left\{y^{(i)}(t)\right\}= \sum_{i=0}^{m}b_i\mathcal{L}\left\{u^{(i)}(t)\right\}$

$\begin{multline*} \sum_{i=0}^{n}a_i\left(s^iY(s)-\sum_{k=0}^{i-1}s^{i-k-1}y^{(k)... ...{m}b_i\left(s^iU(s)-\sum_{k=0}^{i-1}s^{i-k-1}u^{(k)}(0^+)\right) \end{multline*}$

$\begin{multline*} \sum_{i=0}^{n}a_is^iY(s) -\sum_{i=0}^{n}\left(\sum_{k=0}^{i-1}... ...\sum_{i=0}^{m}\left(\sum_{k=0}^{i-1}s^{i-k-1}u^{(k)}(0^+)\right) \end{multline*}$

De esta ecuación podemos despejar como:

$\begin{multline*} \sum_{i=0}^{n}a_is^iY(s)= \sum_{i=0}^{m}b_is^iU(s)+\\ \sum_{i... ...\sum_{i=0}^{m}\left(\sum_{k=0}^{i-1}s^{i-k-1}u^{(k)}(0^+)\right) \end{multline*}$

$\begin{multline*} Y(s)= \frac{\sum_{i=0}^{m}b_is^iU(s)}{\sum_{i=0}^{n}a_is^i}+\\... ..._{k=0}^{i-1}s^{i-k-1}u^{(k)}(0^+)\right)}{ \sum_{i=0}^{n}a_is^i} \end{multline*}$

o de otra forma:

$\begin{multline} Y(s)= \left[\frac{\sum_{i=0}^{m}b_is^i}{\sum_{i=0}^{n}a_is^i}\r... ...{i-1}s^{i-k-1}u^{(k)}(0^+)\right)}{ \sum_{i=0}^{n}a_is^i} \right] \end{multline}$

La ecuación (3.2) muestra que la respuesta de un sistema dinámico continuo puede descomponerse en dos partes^3.1:

Respuesta de estado cero:: Es la primera parte de la ecuación (3.2). Depende de la entrada y no de las condiciones iniciales; de hecho, es la respuesta que tiene el sistema si las condiciones iniciales son cero, es decir, si su estado inicial es cero (de allí su nombre).
Respuesta de entrada cero:: Es la segunda parte de la ecuación (3.2). Depende de las condiciones iniciales y no de la entrada ; de hecho, es la respuesta que tiene el sistema si la entrada es cero (de allí su nombre).

3.1.2 Sistemas discretos

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/analisis/sis_dis} }\end{center}$

Supóngase un sistema dinámico lineal discreto como el de la figura 3.2, cuya relación entre la entrada y la salida está descrita por la siguiente ecuación de diferencias genérica:

$\begin{multline} a_ny(k+n)+\cdots+a_1y(k+1)+a_0y(k)=\\ b_nu(k+n)+\cdots+b_1y(k+1)+b_0u(k) \end{multline}$

o en forma resumida:

$\displaystyle \sum_{i=0}^{n}a_iy(k+i)= \sum_{i=0}^{m}b_iu(k+i)$

Al aplicar la transformada $\mathcal{Z}$ a esta ecuación se tiene:

$\displaystyle \mathcal{Z}\left\{\sum_{i=0}^{n}a_iy(k+i)\right\}= \mathcal{Z}\left\{\sum_{i=0}^{m}b_iu(k+i)\right\}$

$\displaystyle \sum_{i=0}^{n}a_i\mathcal{Z}\left\{y(k+i)\right\}= \sum_{i=0}^{m}b_i\mathcal{Z}\left\{u(k+i)\right\}$

$\displaystyle \sum_{i=0}^{n}a_i\left(z^iY(z)-\sum_{j=0}^{i-1}z^{i-j}y(j)\right)= \sum_{i=0}^{m}b_i\left(z^iU(z)-\sum_{j=0}^{i-1}z^{i-j}u(j)\right)$

$\displaystyle \sum_{i=0}^{n}a_iz^iY(z) -\sum_{i=0}^{n}\left(\sum_{j=0}^{i-1}z^{... ...m_{i=0}^{m}b_iz^iU(z) -\sum_{i=0}^{m}\left(\sum_{k=0}^{i-1}z^{i-j}u^(j)\right)$

De esta ecuación podemos despejar como:

$\displaystyle \sum_{i=0}^{n}a_iz^iY(z)= \sum_{i=0}^{m}b_iz^iU(z)+ \sum_{i=0}^{n... ...i-1}z^{i-k}y(j)\right) -\sum_{i=0}^{m}\left(\sum_{j=0}^{i-1}z^{i-k}u(j)\right)$

$\begin{multline*} Y(z)= \frac{\sum_{i=0}^{m}b_iz^iU(z)}{\sum_{i=0}^{n}a_iz^i}+\\... ..._{k=0}^{i-1}s^{i-k-1}u^{(k)}(0^+)\right)}{ \sum_{i=0}^{n}a_iz^i} \end{multline*}$

o de otra forma:

$\begin{multline} Y(z)= \left[\frac{\sum_{i=0}^{m}b_iz^i}{\sum_{i=0}^{n}a_iz^i}\r... ...sum_{j=0}^{i-1}z^{i-k}u(j)\right)}{ \sum_{i=0}^{n}a_iz^i} \right] \end{multline}$

De forma semejante al caso continuo, la ecuación 3.4 muestra que la respuesta de un sistema dinámico continuo puede descomponerse en dos partes:

Respuesta de estado cero:: Es la primera parte dela ecuación 3.4. Depende de la entrada y no de las condiciones iniciales; de hecho, es la respuesta que tiene el sistema si las condiciones iniciales son cero, es decir, si su estado inicial es cero (de allí su nombre).
Respuesta de entrada cero:: Es la segunda parte dela ecuación 3.4. Depende de las condiciones iniciales y no de la entrada ; de hecho, es la respuesta que tiene el sistema si la entrada es cero (de allí su nombre).

Documento generado usando latex2html a partir de las Notas de Clase originales redactadas por Oscar Duarte