SEDE BOGOTA DNSAV

3.4.1 Regla de Mason

3.4 Diagramas de flujo de señal

La figura 3.8 presenta las relaciones básicas de un diagrama de flujo de señal. Nótese que el énfasis se pone en la señal y no en el sistema, a diferencia de los diagramas de bloques. Este es un texto de análisis de sistemas y no de análisis de señales, por esa razón preferimos los diagramas de bloques a los de flujo de señal.

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/analisis/equivale_senal} }\end{center}$

No obstante lo anterior, el ejemplo 3.1 pone de manifiesto que para la obtención de la función de transferencia de un sistema a partir de su diagrama de bloques es necesario desarrollar una habilidad específica debido a que no existe un algoritmo para ello. Por el contrario, si se utilizan diagramas de flujo de señal sí se cuenta con un procedimiento para la obtención de la función de transferencia conocido como la regla de Mason.

La regla de Mason, que se explica en la sección 3.4.1, emplea las definiciones que se presentan a continuación y que se ilustran en el ejemplo 3.2.

Camino directo: Conjunto de ramas que llevan de la entrada a la salida, sin repetirse.
Ganancia de camino directo: Producto de las ganancias de las ramas que forman el camino directo.
Lazo cerrado: Conjunto de ramas que parten de un nodo y llegan a el mismo nodo, sin repetir ningún otro nodo.
Ganancia de lazo cerrado: Producto de las ganancias de las ramas que forman un lazo.
Lazos adyacentes: Lazos que comparten al menos un nodo.
Lazos no adyacentes: Lazos que no comparten ningún nodo.

Ejemplo 3.2 Considérese el diagrama de flujo de señal de la figura 3.9(a)

Camino directo

Las figuras 3.9(b) y 3.9(c) muestran los caminos directos. 3.2

Ganancia de camino directo

Las ganancias de camino directo Son:

Figura 3.9(b): $T_1=G_{1}(s)G_{2}(s)G_{3}(s)G_{4}(s)G_{5}(s)G_{6}(s)$
Figura 3.9(c): $T_2=G_{1}(s)G_{2}(s)G_{3}(s)\\ G_{12}(s)G_{6}(s)$ .

Lazo cerrado

Las figuras 3.9(d) a 3.9(f) muestran los lazos del ejemplo.

Ganancia de lazo cerrado

Las ganancias de lazo cerrado son:

Figura 3.9(d): $L_1=G_4(s)G_9(s)G_{10}(s)$
Figura 3.9(e):
Figura 3.9(f): $L_3=G_2(s)G_3(s)G_4(s)G_{12}(s)G_{13}(s)$

Lazos adyacentes

Los lazos mostrados en las figuras 3.9(e) y 3.9(f) son adyacentes.

Lazos no adyacentes

Los lazos mostrados en las figuras 3.9(d) y 3.9(e) son no adyacentes.

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/analisis/senal_def_todo} }\end{center}$

3.4.1 Regla de Mason

El cálculo de la función de transferencia

de un diagrama de flujo de señal esta dado por:

$\displaystyle F(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{\sum_{k=1}^{p}T_k\Delta_k}{\Delta}$

Donde:

p= Número de caminos directos de a
= Ganancia del camino directo número
$\Delta$ = 1
- (Suma de ganancias de lazos cerrados)
+ (Suma de ganancias de lazos no adyacentes tomados de a 2)
- (Suma de ganancias de lazos no adyacentes tomados de a 3)
+ (Suma de ganancias de lazos no adyacentes tomados de a 4)
$- \cdots$
$\Delta_k$ : $\Delta$ para el diagrama eliminando los lazos que tocan el camino número

Ejemplo 3.3 Para el sistema de la figura 3.10 la aplicación de la regla de Mason es como sigue:

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/analisis/senal_eje} }\end{center}$

Sólo existe un camino directo (), cuya ganancia es:

$\displaystyle T_1=G_1G_2G_3G_4G_5$
Existen cuatro lazos cerrados, cuyas ganancias son:

$\begin{equation*} \begin{aligned} L_1 = & G_2H_1 \\ L_2 = & G_4H_2 \\ L_3 = & G_6H_3 \\ L_4 = & G_2G_3G_4G_5H_4G_6H_5 \\ \end{aligned}\end{equation*}$
Como existen 4 lazos, hay 6 posibles grupos de 2 lazos (, , , , , ), pero de ellos, sólo son no adyacentes los siguientes:

$\begin{equation*} \begin{aligned} L_1L_2 = & G_2H_1G_4H_2 \\ L_1L_3 = & G_2H_1G_6H_3 \\ L_2L_3 = & G_4H_2G_6H_3 \\ \end{aligned}\end{equation*}$
Como existen 4 lazos, hay 4 posibles grupos de 3 lazos (, , , ), pero de ellos, sólo hay uno que es no adyacentes:

$\displaystyle L_1L_2L_3 = G_2H_1G_4H_2G_6H_3$
Como existen 4 lazos, sólo hay un posible grupo de 4 lazos ( ), pero estos son adyacentes.
De acuerdo con lo anterior, el valor de $\Delta$ es:

$\begin{equation*} \Delta = \left\{ \begin{aligned} & 1 \\ -&(L_1+L_2+L_3+L3) \\ +&(L_1L_2+L_1L_3+L_2L_3) \\ -&(L_1L_2L_3) \end{aligned}\right\} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \Delta= \left\{ \begin{aligned} & 1 \\ -&(G_2H_1+G_4H_2+G_6H... ...3+G_4H_2G_6H_3) \\ -&(G_2H_1G_4H_2G_6H_3) \end{aligned}\right\} \end{equation*}$
Al eliminar los lazos que tocan el único camino directo sólo subsiste el lazo . Por lo tanto resulta:

$\displaystyle \Delta_1=1-(G_6H_3)$
Dado que sólo hay un camino directo, la función de transferencia se calcula como:

$\displaystyle F(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{\sum_{k=1}^{p}T_k\Delta_k}{\Delta}=\frac{T_1\Delta_1}{\Delta}$

$\displaystyle F(s)=\frac{G_1G_2G_3G_4G_5(1-(G_6H_3))}{ \begin{subarray}{l} 1 -(... ...2H_1G_4H_2+G_2H_1G_6H_3+G_4H_2G_6H_3)\\ -(G_2H_1G_4H_2G_6H_3) \end{subarray}}$

Documento generado usando latex2html a partir de las Notas de Clase originales redactadas por Oscar Duarte