SEDE BOGOTA DNSAV

3.5 Respuesta al impulso

La función de transferencia presentada en la sección 3.2 permite caracterizar un sistema dinámico lineal invariante en el tiempo, en situación de reposo, mediante una expresión en el dominio de la frecuencia compleja o . La respuesta al impulso logra esa misma caracterización, pero en el dominio del tiempo o , mediante el estudio del comportamiento del sistema cuando se estimula con una señal especial: el impulso unitario^3.3.

3.5.1 Caso discreto

3.5.1.1 La función impulso unitario discreto

Dado un sistema como el de la figura 3.2 la respuesta al impulso es la respuesta del sistema cuando la entrada es el impulso unitario $\delta(k)$ , con condiciones iniciales nulas. La respuesta al impulso suele denotarse por , y su transformada $\mathcal{Z}$ por

La función $\delta(k)$ (ver figura 3.11) se define como:

$\displaystyle \delta(k)=\left\{ \begin{matrix} 1 & k=0 \\ 0 & k\neq 0 \end{matrix}\right.$

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/analisis/imp_dis} }\end{center}$

Una de las características importantes de la función $\delta(k)$ es que su transformada $\mathcal{Z}$ es , tal como se muestra a continuación:

$\displaystyle \mathcal{Z}\{\delta(k)\}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(k)z^{-k}=\delta(0)z^{-0}=1$

Supóngase un sistema discreto con condiciones iniciales nulas, con función de transferencia , que se excita con el impulso unitario (figura 3.12). La respuesta del sistema, en el dominio de la frecuencia será el producto de la entrada por la función de transferencia:

$\displaystyle H(z)=U(z)F(z)=1F(z)=F(z)$

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/analisis/sis_dis_imp} }\end{center}$

Este hecho pone de manifiesto la relación que existe entre la respuesta al impulso y la función de transferencia (ver figura 3.13): la función de transferencia es la transformada $\mathcal{Z}$ de la respuesta al impulso

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/analisis/imp_transfe_dis} }\end{center}$

3.5.1.2 La respuesta a un impulso genérico

Supóngase un sistema discreto lineal, que es excitado con la función impulso $\delta(k)$ , y cuya salida es la respuesta al impulso , tal como el de la figura 3.14(a). Si ese mismo sistema se excita con la función impulso, pero retrasada en , la salida debe ser la misma respuesta al impulso retrasada en , como se muestra en la figura 3.14(b) ya que se supone que el sistema es invariante en el tiempo.

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/analisis/rta_imp_dis_todo} }\end{center}$

Por otra parte, debido a que el sistema es lineal, al multiplicar la entrada por un escalar la salida se multiplicará por el mismo escalar ; por lo tanto, si el sistema recibe como entrada la señal impulso $c\delta(k-i)$ , la salida será (ver figura 3.14(c)).

3.5.1.3 Convolución

Una señal discreta cualquiera es un conjunto de valores en el tiempo, que puede representarse como la suma de infinitos impulsos individuales , tal como se muestra en la figura 3.15.

Además, cada uno de los pulsos individuales puede representarse como un impulso aplicado en el instante de tiempo , cuya amplitud es justamente Dicho de otra forma, cualquier señal puede escribirse como:

$\displaystyle x(k)=\cdots+x(-1)\delta(k-(-1))+x(0)\delta(k-0)+x(1)\delta(k-1)+\cdots$

$\displaystyle x(k)=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(i)\delta(k-i)$

Debido a que el sistema es lineal, podemos aplicar el principio de superposición, y obtener la respuesta del sistema cuando la entrada es como la suma debida a cada uno de los impulsos (suponiendo condiciones iniciales nulas). Estas respuestas son de la forma que se muestra en la figura 3.14(c), y por tanto la respuesta será de la forma:

$\displaystyle y(k)=\cdots+x(-1)h(k-(-1))+x(0)h(k-0)+x(1)h(k-1)+\cdots$

$\displaystyle y(k)=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(i)h(k-i)=x(k)*h(k)$

Esta última sumatoria corresponde a la convolución discreta de las señales y , representada por el operador

El resultado anterior no debe sorprender, ya que al aplicar transformada $\mathcal{Z}$ a cada lado de la igualdad se tiene:

$\displaystyle \mathcal{Z}\{y(k)\}=\mathcal{Z}\{x(k)*h(k)\}=\mathcal{Z}\{x(k)\} \mathcal{Z}\{h(k)\}=X(z)H(z)$

y la transformada $\mathcal{Z}$ de la respuesta al impulso resulta ser la función de transferencia del sistema, tal como se había mostrado ya en la figura 3.13

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/analisis/suma_imp} }\end{center}$

3.5.2 Caso continuo

3.5.2.1 La función impulso unitario continuo

Para obtener con sistemas continuos un resultado similar el mostrado para sistemas discretos en la sección 3.5.1 es necesario contar con una función continua cuyas propiedades sean análogas a las de la función impulso discreto; es decir, se necesita una función cuya transformada de Laplace sea . Dicha función es la función impulso o delta de Dirac, generalmente representado por $\delta(t)$ .

Para presentar la función $\delta(t)$ , primero consideramos la función $d_\Delta(t)$ , cuya gráfica se muestra en la figura 3.16:

$\displaystyle d_\Delta(t)=\left\{ \begin{matrix} 1/\Delta & t \in [0,\Delta] \\ 0 & t \notin [0,\Delta] \end{matrix}\right. \qquad \Delta > 0$

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/analisis/d_Delta} }\end{center}$

Nótese que el área bajo la gráfica de la función $d_\Delta(t)$ es , independientemente del valor de $\Delta$ , es decir,

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty d_\Delta(t)dt =1\qquad \forall \;\Delta > 0$

Se define la función delta de Dirac como la función que resulta al disminuir $\Delta$ progresivamente, hasta llevarlo al límite en que tiende a cero:

$\displaystyle \delta(t)=\lim_{\Delta\to 0}d_\Delta(t)$

Esta función, cuya gráfica se muestra en la figura 3.17 conserva la propiedad según la cual el área bajo la gráfica es

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \delta(t)dt =1$

Además, si calculamos el área bajo la gráfica desde $-\infty$ hasta un valor el resultado es la función escalón unitario $\mu(t)$

$\displaystyle \int_{0^-}^t \delta(t)dt =\mu(t) =\left\{ \begin{matrix} 0 & t \in (-\infty,0) \\ 1 & t \in (0,\infty) \end{matrix}\right.$

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/analisis/imp_con} }\end{center}$

Por otra parte, consideremos el producto de la función $d_\Delta(t)$ desplazada en el tiempo, con una función cualquiera, y calculemos el área bajo la gráfica de ese producto (ver figura 3.18)

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(t)d_\Delta(t-\tau)dt= \int_{\tau}^{\tau+\Delta}f(t)\frac{1}{\Delta}dt$

Para valores de $\Delta$ suficientemente pequeños, el área puede hacerse equivalente a la de un rectángulo de base $\Delta$ y altura $f(\tau)\frac{1}{\Delta}$ , por lo tanto,

$\displaystyle \lim_{\Delta\to 0}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)d_\Delta(t-\tau)dt= \Delta f(\tau)\frac{1}{\Delta}=f(\tau)$

El límite puede introducirse en la integral, con lo que se obtiene

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\lim_{\Delta\to 0}d_\Delta(t-\tau)dt= \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-\tau)dt=f(\tau)$

(3.2)

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/analisis/conv_con_0} }\end{center}$

Es posible demostrar que la transformada de Laplace del impulso es , es decir que

$\displaystyle \mathcal{L}\left\{\delta(t)\right\}=\int_0^\infty e^{-st}\delta(t)dt=1$

Para ello, puede aplicarse directamente el resultado de la ecuación 3.5 o considerar la propiedad de la transformada de Laplace según la cual

$\displaystyle \mathcal{L}\left\{\int_{0^-}^tx(t)dt\right\}=\frac{ \mathcal{L}\left\{x(t)\right\}}{s}=\frac{X(s)}{s}$

Observese que la transformada de Laplace de $\mu(t)$ , que es

puede escribirse como

$\displaystyle \mathcal{L}\left\{\mu(t)\right\}= \mathcal{L}\left\{\int_{0^-}^t\delta(t)dt\right\}=\frac{ \mathcal{L}\left\{\delta(t)\right\}}{s}=\frac{1}{s}$

por lo tanto

$\displaystyle \mathcal{L}\left\{\delta(t)\right\}=1$

3.5.2.2 Respuesta al impulso

Dado un sistema como el de la figura 3.1 la respuesta al impulso es la respuesta del sistema cuando la entrada es el impulso unitario $\delta(t)$ , con condiciones iniciales nulas. La respuesta al impulso suele denotarse por , y su transformada de Laplace por

Si el sistema continuo tiene una función de transferencia , (figura 3.19), la respuesta del sistema, en el dominio de la frecuencia será el producto de la entrada por la función de transferencia:

$\displaystyle H(s)=U(s)F(s)=1F(s)=F(s)$

Este hecho pone de manifiesto la relación que existe entre la respuesta al impulso y la función de transferencia (ver figura 3.20):La función de transferencia es la transformada de Laplace de la respuesta al impulso

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/analisis/sis_con_imp} }\end{center}$ $\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/analisis/imp_transfe_con} }\end{center}$

De manera semejante al caso discreto (ver sección 3.5.1) puede argumentarse que debido a que el sistema es lineal e invariante en el tiempo, la respuesta del sistema a una señal impulso genérica $c\delta(t-\tau)$ será $ch(t-\tau)$

3.5.2.3 Convolución

La ecuación 3.5 muestra que una señal cualquiera puede representarse como la convolución contínua entre y $\delta(t)$ identificada con el operador (se han intercambiado las variables y $\tau$ , lo que no altera el resultado):

$\displaystyle x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau=x(t)*\delta(t)$

La integral es la suma de infinitos términos (términos infinitesimales), y por tanto podemos emplear el principio de superposición para obtener la respuesta del sistema cuando la entrada es como la suma debida a cada uno de los términos infinitesimales (suponiendo condiciones iniciales nulas), es decir:

$\displaystyle y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau=x(t)*h(t)$

Al igual que en al caso discreto, la respuesta del sistema a una entrada cualquiera se puede obtener como la convolución (contínua) de esa entrada con la respuesta al impulso.

Este resultado concuerda con una afirmación previa, ya que al aplicar transformada de Laplace a cada lado de la igualdad se tiene:

$\displaystyle \mathcal{L}\{y(t)\}=\mathcal{L}\{x(t)*h(t)\}=\mathcal{L}{x(t)} \mathcal{L}\{h(t)\}=X(s)H(s)$

y la transformada de Laplace de la respuesta al impulso resulta ser la Función de Transferencia del sistema, tal como se había mostrado ya en la figura 3.20

Documento generado usando latex2html a partir de las Notas de Clase originales redactadas por Oscar Duarte