SEDE BOGOTA DNSAV

4.1 Sistemas continuos de primer orden

Supóngase un sistema continuo de primer orden, cuya función de transferencia sea

$\displaystyle F(s)=\frac{1}{s+a}$

(4.1)

Al estimular el sistema con un paso unitario $\mu(t)$ , con condiciones iniciales nulas, la respuesta puede calcularse como sigue:

$\displaystyle Y(s)=F(s)U(s)=\frac{1}{(s+a)}\frac{1}{s}=\frac{1/a}{s}+\frac{-1/a}{s+a}$

$\displaystyle y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}=\frac{1}{a}\mu(t)-\frac{1}{a}e^{-at}\mu(t)= \frac{1}{a}(1-e^{-at})\mu(t)$

$\displaystyle y(t)=\frac{1}{a}(1-e^{-at})\mu(t)$

(4.2)

La expresión (4.2) muestra que la respuesta del sistema dependerá del valor de . Este hecho se constata en la figura 4.1, que muestra las gráficas de para distintos valores de .

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/rta_primer_con_todo} }\end{center}$

Al cambiar el valor de tambien cambia el valor del único polo de la función de transferencia (4.1), que es . Para cualquier valor real positivo de el polo es un real negativo , y viceversa. Cuando el polo es positivo, la respuesta del sistema tiende a infinito, y se dice que el sistema es inestable. La figura 4.2 muestra cuales son las regiones de estabilidad e inestabilidad con referencia a la recta real, es decir, en qué lugares debe estar ubicado el polo de la función de transferencia para que el sistema sea, respectivamente, estable o inestable.

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/reg_primer_con} }\end{center}$

Para un polo negativo cualquiera , la respuesta es como la que se muestra en la figura 4.3. El valor determina qué tan empinada es la respuesta (y cuál será el valor final de la respuesta); para valores grandes de , la respuesta es más empinada, debido a que la respuesta natural $e^{-at}$ se extingue más rápido.

Para medir qué tan rápido decae una respuesta natural, podemos definir el tiempo de asentamiento o tiempo de estabilización, como el tiempo a partir del cual la respuesta natural (su valor absoluto) no supera un porcentaje de su valor máximo, por ejemplo el $5\%$ . Para el caso del sistema continuo de primer orden, este tiempo $t_{as}$ satisface:

$\displaystyle e^{-at_{as}}=0.05\qquad t_{as}=-\frac{\ln 0.05}{a} \qquad t_{as}\approx 3/a$

En general, al alejar el polo del origen (al desplazarlo hacia la izquierda) disminuye el tiempo de asentamiento, es decir, la respuesta es más empinada. Esto nos permite definir una región de tiempo de asentamiento máximo, como la que se muestra en la figura 4.4. Si el polo de la función de transferencia (4.1) cae en esa región podemos asegurar que su tiempo de asentamiento satisface $t_{as}\leq 3/a$ .

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/rta_primer_con} }\end{center}$ $\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/reg2_primer_con} }\end{center}$

Nótese que la región de tiempo de asentamiento máximo está contenida dentro de la región de estabilidad; esto es lógico, ya que la definición de tiempo de asentamiento sólo tiene sentido para sistemas estables.

Documento generado usando latex2html a partir de las Notas de Clase originales redactadas por Oscar Duarte