SEDE BOGOTA DNSAV

4.2 Sistemas discretos de primer orden

Supóngase un sistema discreto de primer orden, cuya función de transferencia sea

$\displaystyle F(z)=\frac{1}{z+a}$

(4.3)

Al estimular el sistema con un paso unitario $\mu(k)$ , con condiciones iniciales nulas, la respuesta puede calcularse como sigue:

$\displaystyle Y(z)=F(z)U(z)=\frac{1}{(z+a)}\frac{z}{(z-1)}=\frac{z/(1+a)}{(z-1)}-\frac{z/(1+a)}{z+a}$

$\displaystyle y(k)=\mathcal{Z}^{-1}\{Y(z)\}=\frac{1}{1+a}\mu(k)-\frac{1}{1+a}(-a)^{k}\mu(k)= \frac{1}{(1+a)}(1-(-a)^{k})\mu(k)$

$\displaystyle y(k)=\frac{1}{(1+a)}(1-(-a)^{k})\mu(k)$

(4.4)

La expresión (4.4) muestra que la respuesta del sistema dependerá del valor de

. Este hecho se constata en la figura 4.1, que muestra las gráficas de

para distintos valores de

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/rta_primer_dis_todo} }\end{center}$

Al cambiar el valor de tambien cambia el valor de el único polo de la función de transferencia (4.3), que es . Para cualquier valor real positivo de el polo es un real negativo , y viceversa. Cuando el polo es negativo, la respuesta del sistema es de signo alternante (P.ej. $(-1/2)^k=0,-1/2,1/4,-1/8,\cdots$ ); por el contrario, si el polo es positivo la respuesta siempre será del mismo signo.

Por otra parte, si el valor absoluto de es mayor que 1, el valor absoluto de la respuesta tiende a infinito, y se dice que el sistema es inestable. La figura 4.6 muestra cuales son las regiones de estabilidad e inestabilidad con referencia a la recta real, es decir, en qué lugares debe estar ubicado el polo de la función de transferencia para que el sistema sea, respectivamente, estable o inestable; también se muestra en la misma figura cuando la respuesta es alternante o no.

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/reg_primer_dis} }\end{center}$ Para medir qué tan rápido decae una respuesta natural en los sistemas estables podemos definir el tiempo de asentamiento o tiempo de estabilización, como el tiempo a partir del cual la respuesta natural (su valor absoluto) no supera un porcentaje de su valor máximo, por ejemplo el $5\%$ . Para el caso del sistema discreto de primer orden, este tiempo será el menor entero $k_{as}$ tal que:

$\displaystyle (\vert-a\vert)^{k_{as}}\leq 0.05\qquad$

En consecuencia, $k_{as}$ satisface

$\displaystyle k_{as}\leq\frac{\ln 0.05}{\ln (\vert a\vert)} \qquad k_{as}\leq -3/\ln(\vert a\vert)$

En general, al alejar el polo del origen (al acercarlo a o ) aumenta el tiempo de asentamiento, es decir, la respuesta es más lenta. Esto nos permite definir una región de tiempo de asentamiento máximo, como la que se muestra en la figura 4.7. Si el polo de la función de transferencia (4.3) cae en esa región podemos asegurar que su tiempo de asentamiento satisface $k_{as}\leq 3/\ln(\vert a\vert)$ .

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/reg2_primer_dis} }\end{center}$

Al igual que en el caso continuo, en el caso discreto la región de tiempo de asentamiento máximo está contenida dentro de la región de estabilidad.

Documento generado usando latex2html a partir de las Notas de Clase originales redactadas por Oscar Duarte