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4.3 Sistemas continuos de segundo orden

Supóngase un sistema continuo de segundo orden, cuya función de transferencia sea

$\displaystyle F(s)=\frac{\omega_n}{s^2+2\xi\omega_n s+\omega_n^2}$

(4.5)

Los polos de la función de transferencia serán:

$\displaystyle p_{1,2}=\frac{-2\xi\omega_n\pm\sqrt{4\xi^2\omega_n^2-4\omega_n^2}}{2}=\omega_n\left(-\xi\pm\sqrt{\xi^2-1}\right)$

En caso de que $\vert\xi\vert<1$ , el radical es negativo, y los polos resultan ser complejos conjugados:

$\displaystyle p_{1,2}=-\xi\omega_n\pm j\omega_n\sqrt{1-\xi^2}$

La figura 4.8 muestra la ubicación de los polos complejos. Nótese que la distancia de los polos al origen (la magnitud del complejo) es justamente $\omega_n$ :

$\displaystyle d=\sqrt{(\xi\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\xi^2)}=\omega_n$

Además, el coseno del ángulo $\phi$ formado con el semieje real negativo, es justamente $\xi$ :

$\displaystyle \cos \phi=\frac{\xi\omega_n}{\omega_n}=\xi$

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/polos_segundo_con} }\end{center}$

Al estimular el sistema (4.5) con un paso unitario $\mu(t)$ , con condiciones iniciales nulas, la respuesta puede calcularse como sigue:

$\displaystyle Y(s)=F(s)U(s)=\frac{\omega_n}{s^2+2\xi\omega s+\omega_n^2}\frac{1}{s}$

$\displaystyle y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}=\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-\xi^2}}e^{-\xi\omega_n t}\sin \left(\omega_n\sqrt{1-\xi^2}t+\phi\right)\right)\mu(t)$

(4.6)

donde,

$\displaystyle \phi=\cos^{-1}\xi$

Las figuras 4.9 a 4.11 muestran la gráfica de (4.6) en varias condiciones: en la figura 4.9 se ha fijado $\omega_n=1$ , y se ha variado $\xi$ . En la figura 4.10 se ha fijado $\xi=0.5$ y se ha variado $\omega_n$ . La figura 4.11 muestra la forma genérica de (4.6) con $\xi \in (0,1)$ .

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/rta_segundo_con_1} }\end{center}$ $\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/rta_segundo_con_2} }\end{center}$ $\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/rta_segundo_con_0} }\end{center}$

4.3.1 Región de estabilidad

Al evaluar (4.6) se observa que para valores positivos de $-\xi\omega_n$ el término exponencial crece indefinidamente, y por tanto la respuesta se hará infinita. El término $-\xi\omega_n$ coincide con la parte real de los polos de (4.5), tal como se muestra en la figura 4.8, por lo tanto, la región de estabilidad, aquella en la que deben ubicarse los polos para que el sistema sea estable, resulta ser el semiplano izquierdo. Esto se muestra en la figura 4.12

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/reg_est_seg_con} }\end{center}$

4.3.2 Región de tiempo máximo de asentamiento

La respuesta transitoria de (4.5) es el producto de una exponencial $e^{-\xi\omega_n t}$ por una sinusoidal $\sin \left(\omega_n\sqrt{1-\xi^2}t+\phi\right)$ , es decir, su amplitud es menor o igual que $e^{-\xi\omega_n t}$ .

Si tomamos el tiempo de asentamiento como el tiempo a partir del cual la respuesta natural (su valor absoluto) no supera el $5\%$ de su valor máximo, en el caso del sistema continuo de segundo orden este tiempo $t_{as}$ satisface:

$\displaystyle e^{-\xi\omega_nt_{as}}=0.05\qquad t_{\xi\omega_ns}=-\frac{\ln 0.05}{\xi\omega_n} \qquad t_{as}\approx 3/\xi\omega_n$

Debido a que $-\xi\omega_n$ es la parte real de los polos de (4.5) , tal como se muestra en la figura 4.8, la región de tiempo de asentamiento máximo es la que se muestra en la figura 4.13

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/reg_asen_seg_con} }\end{center}$

4.3.3 Región de frecuencia máxima de oscilación

La frecuencia de oscilación de la respuesta es la frecuencia de la sinusoidal de (4.5), es decir es $\omega_n\sqrt{1-\xi^2}$ , que corresponde a la parte imaginaria de los polos de (4.5) (ver figura 4.8). Por esta razón, la región de frecuencia máxima de oscilación es la que se muestra en la figura 4.14

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/reg_frec_seg_con} }\end{center}$

4.3.4 Región de sobrepico máximo

Uno de los parámetros más importantes de la respuesta graficada en la figura 4.11, es el sobrepico máximo, , que indica qué tanto llega a valer la respuesta en relación con su valor final:

$\displaystyle sp=\frac{y_{max}-y_{final}}{y_{final}}*100\%$

donde $y_{max}$ es el valor máximo, y $y_{final}$ el valor final (estacionario) de

Para calcular el sobrepico máximo, primero derivamos e igualamos a cero para obtener los instantes en los que suceden los máximos y mínimos de :

$\displaystyle \begin{matrix} \frac{dy}{dt}= & \frac{-1}{\sqrt{1-\xi^2}}\left[-\... ...ga_n t}\cos\left(\omega_n \sqrt{1-\xi^2}t+\phi\right) \right] & =0 \end{matrix}$

$\displaystyle \xi\omega_n\sin\left(\omega_n\sqrt{1-\xi^2}t+\phi\right)= \omega_n\sqrt{1-\xi^2}\cos\left(\omega_n \sqrt{1-\xi^2}t+\phi\right)$

$\displaystyle \frac{\sqrt{1-\xi^2}}{\xi}=\tan{\left(\omega_n \sqrt{1-\xi^2}t+\phi\right)}$

$\displaystyle \left(\omega_n \sqrt{1-\xi^2}t+\phi\right)=\tan^{-1}\frac{\sqrt{1-\xi^2}}{\xi}$

Para obtener el valor de la arcotangente en la ecuación anterior, obsérvese en la figura (4.8) el valor de $\tan\phi$ :

$\displaystyle \tan\phi=\frac{\omega_n\sqrt{1-\xi^2}}{\xi\omega_n}=\frac{\sqrt{1-\xi^2}}{\xi}$

La función $\tan^{-1}(x)$ es periódica, de periodo $\pi$ , por lo tanto

$\displaystyle \left(\omega_n \sqrt{1-\xi^2}t+\phi\right)=\tan^{-1}\frac{\sqrt{1-\xi^2}}{\xi}=\phi+n\pi$

$\displaystyle t=\frac{n\pi}{\omega_n\sqrt{1-\xi^2}}\qquad n=0,1,2,\cdots$

Existen infinitos instantes en los que la derivada de

es nula, que corresponden a los máximos y mínimos locales que se observan en la figura 4.11. Para

resulta

, por lo tanto la respuesta

es prácticamente horizontal en su inicio. El sobrepico máximo sucede en

, que corresponde a

$\displaystyle t_c=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\xi^2}}$

El valor de en es el valor máximo de , es decir $y_{max}=y(t_c)$

$\displaystyle y_{max}= 1-\frac{1}{\sqrt{1-\xi^2}}e^{-\xi\omega_n \frac{\pi}{\om... ...sin \left(\omega_n\sqrt{1-\xi^2}\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\xi^2}}+\phi\right)$

$\displaystyle y_{max}= 1-\frac{1}{\sqrt{1-\xi^2}}e^{\frac{-\xi\pi}{\sqrt{1-\xi^2}}}\sin (\pi+\phi)$

Dado que $\sin(\pi+x)=-\sin(x)$ , podemos escribir

$\displaystyle y_{max}= 1+\frac{1}{\sqrt{1-\xi^2}}e^{\frac{-\xi\pi}{\sqrt{1-\xi^2}}}\sin (\phi)$

$\displaystyle y_{max}= 1+e^{\frac{-\xi\pi}{\sqrt{1-\xi^2}}}=1+e^{-\pi\cot\phi}$

El valor final de

es 1, por lo tanto

$\displaystyle sp=e^{\frac{-\xi\pi}{\sqrt{1-\xi^2}}}100\%=e^{-\pi\cot\phi}100\%$

Las figuras 4.15 y 4.16 muestran cómo varía el sobrepico máximo en función de el factor de amortiguamiento $\xi$ y el ángulo $\phi$ , respectivamente. Es interesante observar que el sobrepico depende del ángulo $\phi$ que forman los polos con el semieje real negativo (figura 4.8), lo que nos permite establecer una región de sobrepico máximo, tal como la que se muestra en la figura 4.17

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/spico_xi_con} }\end{center}$ $\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/spico_phi_con} }\end{center}$ $\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/reg_spc_seg_con} }\end{center}$

4.3.5 Región de diseño

Las regiones que se muestran en las figuras 4.12, 4.13, 4.14 y 4.17 pueden resumirse en una única región de diseño, como la que se muestra en la figura 4.18. Refiriéndonos a esta figura, la región de diseño puede interpretarse asi:

Dado un sistema de segundo orden como el de la ecuación (4.5) con condiciones iniciales nulas, cuyos polos están ubicados dentro de la región de diseño, puede asegurarse que:

el sistema es estable
el tiempo de asentamiento es menor o igual que
la frecuencia máxima de oscilación de la respuesta natural es
al estimularlo con un escalón unitario el sobrepico máximo es menor que $e^{-\pi\cot\phi}100\%$

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/reg_dis_seg_con} }\end{center}$

Documento generado usando latex2html a partir de las Notas de Clase originales redactadas por Oscar Duarte