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4.4 Sistemas discretos de segundo orden

Supóngase ahora un sistema discreto de segundo orden, cuya función de transferencia sea

$\displaystyle F(z)=\frac{1-2b\cos a+b^2}{z^2-2bz\cos{a} +b^2}$

(4.7)

Los polos de la función de transferencia serán:

$\displaystyle p_{1,2}=\frac{2b\cos{a}\pm\sqrt{4b^2\cos^2a-4b^2}}{2}=b\left(\cos{a}\pm \sqrt{\cos^2a-1}\right)$

El término del radical será menor o igual que cero; en caso de que sea menor, los dos polos serán los complejos conjugados:

$\displaystyle p_{1,2}=b\left(\cos{a}\pm j\sqrt{1-\cos^2a}\right)= b\left(\cos{a}\pm j\sin{a}\right)$

La figura 4.19 muestra la ubicación de los polos en el plano complejo.

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/polos_segundo_dis} }\end{center}$

Al estimular el sistema (4.7) con un paso unitario $\mu(k)$ , con condiciones iniciales nulas, la respuesta puede calcularse como sigue:

$\displaystyle Y(z)=F(z)U(z)=\left(\frac{1-2b\cos a+b^2}{z^2-2bz\cos{a} +b^2}\right) \left(\frac{z}{z-1}\right)$

$\displaystyle \frac{Y(z)}{z}=\frac{A}{z-1}+\frac{Bz+C}{z^2-2bz\cos{a} +b^2}$

sumando e igualando coeficientes se obtiene

$\displaystyle A=1 \qquad B=-1 \qquad C=-1+2b\cos{a}$

$\displaystyle Y(z)=\frac{z}{z-1}-\frac{z^2+(1-2bz\cos{a})}{z^2-2bz\cos{a} +b^2}$

$\displaystyle Y(z)=\frac{z}{z-1}-\frac{z^2-bz\cos{a}}{z^2-2bz\cos{a} +b^2} -\frac{z(1-2z\cos{a})}{z^2-2bz\cos{a} +b^2}$

$\displaystyle y(k)=\mathcal{Z}^{-1}\{Y(z)\}=\left(1-b^k\cos{ak}- \frac{(1-b\cos{a})}{b\sin{a}}b^k\sin{ak}\right)\mu(k)$

Finalmente, las dos sinusoidales se pueden agrupar en una sola, para obtener:

$\displaystyle y(k)=\mathcal{Z}^{-1}\{Y(z)\}=\left(1-Cb^k\sin{(ak+\phi)}\right)\mu(k)$

(4.8)

donde

$\displaystyle C=\frac{\sqrt{1+b^2-2b\cos{a}}}{b\sin{a}}=\frac{1}{\sin{\phi}}\qquad \phi=\tan^{-1}\left(\frac{b\sin{a}}{1-b\cos{a}}\right)$

La figura 4.20 muestra la gráfica de para unos valores específicos de y . Aunque sólo tiene sentido en los valores enteros de , se ha trazado también en punteado la curva que se obtendría para valores reales de .

Podría plantearse que para estudiar la secuencia (los puntos en la figura 4.20) sería válido analizar el sistema continuo que la genera ((la curva punteada en la figura 4.20)); sin embargo, en ocasiones los resultados pueden ser muy engañosos: considérese el caso en que y , que se grafica en la figura 4.21; si se analiza la curva contínua, se concluye que el máximo valor (absoluto) de será cercano a , pero al ver la secuencia de puntos observamos que ésta nunca supera (en valor absoluto) a .

No obstante, dado que un análisis de la curva contínua arrojará valores mayores o iguales que la secuencia, puede utilizarse para establecer cotas superiores de los valores de la secuencia, y asi establecer regiones de diseño.

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/rta_segundo_dis_0} }\end{center}$ $\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/rta_segundo_dis_1} }\end{center}$

4.4.1 Región de estabilidad

Al evaluar (4.8) se observa que para valores de mayores que 1 el término exponencial crece indefinidamente, y por tanto la respuesta se hará infinita. El término coincide con la magnitud de los polos de (4.7), tal como se muestra en la figura 4.19, por lo tanto, la región de estabilidad, aquella en la que deben ubicarse los polos para que el sistema sea estable resulta ser el círculo unitario centrado en el origen, tal como se ve en la figura 4.22.

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/reg_est_seg_dis} }\end{center}$

4.4.2 Región de tiempo máximo de asentamiento

La respuesta transitoria de (4.7) es el producto de la exponencial $b^{k}$ por la sinusoide $\sin \left(ak+\phi\right)$ , es decir, su amplitud es menor o igual que $b^{k}$ .

Si tomamos el tiempo de asentamiento como el tiempo a partir del cual la respuesta natural (su valor absoluto) no supera el $5\%$ de su valor máximo en el caso del sistema discreto de segundo orden, este tiempo $k_{as}$ satisface:

$\displaystyle b^{k_{as}}\leq 0.05\qquad \ln{b^{k_{as}}}\leq \ln{0.05} \qquad k_{as}\ln{b}\leq\ln{0.05} \qquad k_{as}\leq\frac{3}{\ln{b}}$

Debido a que es la magnitud de los polos de (4.7) , tal como se muestra en la figura 4.19, la región de tiempo de asentamiento máximo es la que se muestra en la figura 4.23.

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/reg_asen_seg_dis} }\end{center}$

4.4.3 Región de Frecuencia máxima de oscilación

La frecuencia de oscilación de la respuesta es la frecuencia de la sinusoidal de (4.7), es decir es , que corresponde al ángulo de los polos de (4.7) respecto a la horizontal (ver figura 4.19). Por esta razón, la región de frecuencia máxima de oscilación es la que se muestra en la figura 4.24.

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/reg_frec_seg_dis} }\end{center}$

4.4.4 Región de sobrepico máximo

Al comparar las respuestas a escalones unitarios de los sistemas continuos y discretos de segundo orden, que aparecen en las ecuaciones (4.6) y (4.8) respectivamente, podemos ver las semejanzas de estas respuestas.

Si reescribimos como $\left( e^{\ln b} \right)^k=e^{k\ln b }$ , podemos asimilar los coeficientes de los exponentes y las sinusoides:

$\displaystyle -\xi\omega_n=\ln{b}\qquad \omega_n\sqrt{1-\xi^2}=a$

De tal manera que

$\displaystyle \frac{\ln{b}}{a}=-\frac{\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}=-\cot{\phi}$

$\displaystyle b=e^{-a\cot{\phi}}=e^{-\frac{a\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}}$

(4.9)

La ecuación 4.9 permite definir, para el caso discreto, curvas análogas a las que generan la región de sobrepico máximo de los sistemas continuos (figura 4.17). La figura 4.25 muestra las curvas generadas por la ecuación (4.9) para distintos valores de $\xi$ .

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/reg_spc_seg_dis_1} }\end{center}$

Por su parte, la figura 4.26) muestra la región definida por (4.9) al fijar un valor de $\xi$ (o de $\phi$ ), es decir, al establecer un factor de amortiguamiento. Esta región no es la región de sobrepico máximo, sino la región de amortiguamiento mínimo. El sobrepico máximo es más difícil de obtener debido a que el tiempo es discreto.

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/reg_spc_seg_dis} }\end{center}$

4.4.5 Región de diseño

Al combinar las regiones definidas en las figuras 4.22 a 4.26 se obtiene la región de diseño que se muestra en la figura 4.27. Su significado es análogo a la región de diseño del caso continuo.

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/reg_dis_seg_dis} }\end{center}$

Documento generado usando latex2html a partir de las Notas de Clase originales redactadas por Oscar Duarte