SEDE BOGOTA DNSAV

4.5 Efecto de los ceros. Sistemas de fase mínima

Pese a que en las secciones anteriores se ha hecho énfasis en el efecto que tiene sobre la respuesta natural la ubicación de los polos en el plano, no debe desconocerse que los ceros también influyen en la respuesta.

Supóngase un sistema continuo de segundo orden, con un cero real:

$\displaystyle F(s)=\frac{\frac{(b^2+\omega^2)}{a}(s+a)}{(s+b)^2+\omega^2}$

(4.10)

La respuesta al escalón del sistema definido por (4.10) es :

$\displaystyle y(t)=\left\{ \begin{matrix}\left(1 +\frac{1}{a}\sqrt{(b^2+\omega^... ...eft(\frac{w}{b}\right)+\tan^{-1}\left(\frac{w}{a-b}\right) \end{matrix} \right.$

(4.11)

La figura 4.28 muestra la gráfica de (4.11), para tres valores distintos de , con unos valores fijos de y $\omega=1$ ; es decir, lo que se está modificando es la posición del cero de la función de transferencia. Alli puede verse que la ubicación del cero afecta directamente la forma de la respuesta.

$\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/orden/ceros_seg_con} }\end{center}$

Es importante resaltar que las regiones de diseño de las figuras 4.18 y 4.27 fueron desarrolladas para sistemas prototipo de segundo orden, sin ceros. Estas regiones pueden emplearse para el análisis y control de sistemas de segundo orden con ceros, pero sólo como una guía de carácter general.

Más importante aún es resaltar que para ceros en el semiplano derecho (este es el caso en la figura 4.28) la respuesta al escalón presenta en sus inicios valores de signo contrario a los de la respuesta de estado estacionario; este fenómeno, conocido como subpico (en inglés undershoot) puede llegar a ser muy peligroso en algunos sistemas físicos, y constituye una gran dificultad para su control.

Los sistemas que no poseen ceros en el semiplano derecho, se conocen como sistemas de fase mínima, o simplemente minifase ^4.2.

La presencia de subpicos ante una entrada escalón es fácil de demostrar para un sistema de segundo orden con polos reales y un cero real^4.3, tal como

$\displaystyle F(s)=\frac{(s+a)}{(s+b)(s+c)}$

(4.12)

La respuesta al escalón será:

$\displaystyle Y(s)=\frac{(s+a)}{s(s+b)(s+c)} \frac{a/(b+c)}{s} +\frac{(a-b)/(c-b)(-b)}{(s+b)} +\frac{(a-c)/(c-b)(c)}{(s+c)}$

$\displaystyle y(t)=\left( \frac{a}{bc} +\frac{(a-b)}{(c-b)(-b)}e^{-bt} +\frac{(a-c)}{(c-b)(c)}e^{-ct} \right)\mu(t)$

El signo de la derivada de evaluada en nos indica si la respuesta crece o decrece en ese momento:

$\displaystyle \left.\frac{dy}{dt}\right\vert _{t=0}= \frac{a-b}{c-b}=\frac{a-c}{c-b}=\frac{c-b}{c-b}=1$

La derivada siempre es positiva, por lo tanto, para valores cercanos a , será siempre positiva. Por otra parte, la respuesta de estado estacionario de será ; para sistemas estables, tanto b como c son positivos, y por lo tanto el signo de la respuesta estacionaria es el mismo signo de .

En conclusión, para valores negativos de (ceros positivos), la respuesta en sus inicios tendrá un signo diferente al de la respuesta de estado estacionario y sucederá el subpico.

Documento generado usando latex2html a partir de las Notas de Clase originales redactadas por Oscar Duarte