SEDE BOGOTA DNSAV

2.3 Solución de E.D. lineales mediante
transformadas

La solución de Ecuaciones Diferenciales (o de diferencia) mediante transformadas emplea el siguiente procedimiento:

Aplicar la transformada (de Laplace o $\mathcal{Z}$ según sea el caso) a cada lado de la Ecuación.
Despejar la transformada de la función desconocida.
Aplicar la transformada inversa (de Laplace o $\mathcal{Z}$ según sea el caso) a la función desconocida.

Para la aplicación del último paso, suele ser conveniente utilizar la expansión en fracciones parciales.

Ejemplo 2.11 Resolver la ecuación diferencial

$\displaystyle y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=5\mu(k)$

Con las condiciones iniciales : , .

Al aplicar la Transformada $\mathcal{Z}$ a cada lado de la ecuación se tiene:

$\displaystyle \mathcal{Z}\left\{y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)\right\}=\mathcal{Z}\left\{5\mu(k)\right\}$
Debido a la propiedad de linealidad se tiene

$\displaystyle \mathcal{Z}\left\{y(k+2)\right\}+3\mathcal{Z}\left\{y(k+1)\right\}+2 \mathcal{Z}\left\{y(k)\right\}=5\mathcal{Z}\left\{\mu(k)\right\}$

Si denominamos por a $\mathcal{Z}\left\{y(k)\right\}$ , y empleamos la propiedad de diferencias positivas, tenemos

$\displaystyle \left[z^2Y(z)-z^2y(0)-zy(1)\right]+3\left[zY(z)-zy(0)\right]+2Y(z)=5\frac{z}{z-1}$
Reemplazando los valores de las condiciones iniciales, tenemos:

$\displaystyle \left[z^2Y(z)+z^2-2z)\right]+3\left[zY(z)+z\right]+2Y(z)=5\frac{z}{z-1}$
Para despejar la transformada de la función desconocida escribimos:

$\displaystyle Y(z)\left[z^2+3z+2\right]+z^2-2z+3z=5\frac{z}{z-1}$

$\displaystyle Y(z)\left[z^2+3z+2\right]=5\frac{z}{z-1}-z^2-z=\frac{-z^3+6z}{z-1}$

$\displaystyle Y(z)=\frac{-z^3+6z}{(z-1)(z^2+3z+2)}=\frac{-z^3+6z}{(z-1)(z+1)(z+2)}$
Para aplicar la transformada inversa $\mathcal{Z}$ primero efectuamos una expansión en fracciones parciales de $\frac{Y(z)}{z}$

$\displaystyle \frac{Y(z)}{z}=\frac{-z^2+6}{(z-1)(z+1)(z+2)}=\frac{A_{11}}{z-1}+\frac{A_{21}}{z+1}+\frac{A_{31}}{z+2}$
Los coeficientes se pueden calcular como

$\displaystyle A_{11}=\left.\left\{\frac{-z^2+6}{(z+1)(z+2)}\right\}\right\vert _{z=1}=\frac{5}{6}$

$\displaystyle A_{21}=\left.\left\{\frac{-z^2+6}{(z-1)(z+2)}\right\}\right\vert _{z=-1}=\frac{-5}{2}$

$\displaystyle A_{31}=\left.\left\{\frac{-z^2+6}{(z-1)(z+1)}\right\}\right\vert _{z=-2}=\frac{2}{3}$

Por lo tanto

$\displaystyle \frac{Y(z)}{z}=\frac{-z^2+6}{(z-1)(z+1)(z+2)}=\frac{\frac{5}{6}}{z-1}+\frac{ \frac{-5}{2}}{z+1}+\frac{\frac{2}{3}}{z+2}$

$\displaystyle Y(z)=\frac{\frac{5}{6}z}{z-1}+\frac{ \frac{-5}{2}z}{z+1}+\frac{\frac{2}{3}z}{z+2}$

La transformada inversa $\mathcal{Z}$ se puede obtener ahora en forma directa:

$\displaystyle y(k)=\mathcal{Z}^{-1}\left\{Y(z)\right\}=\frac{5}{6}\mu(k)+\frac{-5}{2}(-1)^k+ \frac{2}{3}(-2)^k$

Documento generado usando latex2html a partir de las Notas de Clase originales redactadas por Oscar Duarte