5.1 Tipo de sistema y error de
estado estacionario

5.1.1 Caso continuo

Uno de los objetivos de los esquemas de control como el que se muestra en las figura 5.1 suele ser el asegurar que la señal de error sea nula, al menos despues de que las respuestas transitorias hayan desaparecido. Por ese hecho, se estudia la respuesta de estado estacionario de la señal de error, comunmente denominada el error de estado estacionario.

Bajo la suposición de que el sistema realimentado es estable^5.1, se puede argumentar que despues de un cierto tiempo la respuesta transitoria se habrá hecho lo suficientemente pequeña como para considerar que no existe, y por lo tanto sólo queda la respuesta estacionaria, es decir

$\displaystyle e_{ee}=\lim_{t\to\infty}e(t)$

(5.9)

donde $e_{ee}$ es el error de estado estacionario, y

es la señal de error en el dominio del tiempo, es decir $e(t)=\mathcal{L}^{-1}\{E(s)\}$

El teorema de valor final de la transformada de Laplace provee una forma de calcular $e_{ee}$ :

$\displaystyle e_{ee}=\lim_{t\to\infty}e(t)=\lim_{s\to 0}\left\{sE(s)\right\}$

(5.10)

Combinando (5.10) con (5.3) se obtiene:

$\displaystyle e_{ee}=\lim_{s\to 0}\left\{sF_E(s)U(s)\right\}$

(5.11)

Al observar (5.11), se encuentra que el error de estado estacionario podrá ser 0, $\infty$ o un valor finito, dependiendo del número de polos y ceros en que tengan y , como se muestra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 5.1 Sea $F_E(s)=\frac{(s+4)}{(s+3)(s+5)}$ y $U(s)=\frac{1}{(s^2+4)}$ . Según (5.11) el error de estado estacionario será

$\displaystyle e_{ee}= \lim_{s\to 0}\left\{s\frac{(s+4)}{(s+3)(s+5)}\frac{1}{(s^2+4)}\right\} = 0\frac{(0+4)}{(0+3)(0+5)}\frac{1}{(0^2+4)}=0$

Ejemplo 5.2 Sea $F_E(s)=\frac{(s+4)}{(s+3)(s+5)}$ y $U(s)=\frac{1}{s}$ . Según (5.11) el error de estado estacionario será

$\displaystyle e_{ee}= \lim_{s\to 0}\left\{s\frac{(s+4)}{(s+3)(s+5)}\frac{1}{s}\... ...\left\{\frac{(s+4)}{(s+3)(s+5)}\right\}= \frac{(0+4)}{(0+3)(0+5)}=\frac{4}{15}$

Ejemplo 5.3 Sea $F_E(s)=\frac{s(s+4)}{(s+3)(s+5)}$ y $U(s)=\frac{1}{s^3}$ . Según (5.11) el error de estado estacionario será

$\displaystyle e_{ee}= \lim_{s\to 0}\left\{s\frac{s(s+4)}{(s+3)(s+5)}\frac{1}{s^3}\right\}$

$\displaystyle e_{ee}= \lim_{s\to 0}\left\{\frac{(s+4)}{(s+3)(s+5)}\frac{1}{s}\right\}= \frac{(0+4)}{(0+3)(0+5)}\frac{1}{0}=\frac{4}{0}=\infty$

En los ejemplos anteriores puede observarse que el valor de $e_{ee}$ depende de si la que aparece en (5.11) puede o no cancelarse con otros términos que aparezcan en . Con esto en mente, definimos el tipo de sistema como el número de ceros en que tenga y construimos la tabla 5.1. Nótese que las entradas que se han empleado son aquellas cuyas transformadas de Laplace tienen términos en el denominador.

De acuerdo con (5.7) los ceros de son los valores de que hacen que sea cero, es decir son iguales a los polos de . Por esta razón también podemos definir el tipo de sistema como el número de polos en que tenga .

Tabla 5.1: Error de estado estacionario para sistemas continuos

Tipo de sistema	$u(t)=\mu(t)$	$u(t)=t\mu(t)$	$u(t)=t^2\mu(t)/2$	$\cdots$
				$\cdots$
0	$\lim_{s\to 0}\left\{F_E(s)\right\}$	$\infty$	$\infty$	$\cdots$
1	0	$\lim_{s\to 0}\left\{\frac{F_E(s)}{s}\right\}$	$\infty$	$\cdots$
2	0	0	$\lim_{s\to 0}\left\{\frac{F_E(s)}{s^2}\right\}$	$\cdots$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$

5.1.2 Caso discreto

Consideraciones similares pueden hacerse para el caso discreto. Si el sistema realimentado es estable^5.2, el error de estado estacionario de un sistema como el de la figura 5.2 será

$\displaystyle e_{ee}=\lim_{k\to\infty}e(k)$

(5.12)

donde $e_{ee}$ es el error de estado estacionario, y

es la señal de error en el dominio del tiempo, es decir $e(k)=\mathcal{Z}^{-1}\{E(z)\}$

El teorema de valor final de la transformada $\mathcal{Z}$ provee una forma de calcular $e_{ee}$ :

$\displaystyle e_{ee}=\lim_{k\to\infty}e(k)=\lim_{z\to 1}\left\{(z-1)E(z)\right\}$

(5.13)

o lo que es igual,

$\displaystyle e_{ee}=\lim_{k\to\infty}e(k)=\lim_{z\to 1}\left\{(z-1)F_E(z)U(z)\right\}$

(5.14)

Ahora el valor de $e_{ee}$ depende del numero de ceros y polos en que tengan y . Por lo tanto, definimos tipo de sistema como el número de ceros en que tenga y construimos la tabla 5.2. Nótese que las entradas que se han empleado son aquellas cuyas transformadas de Laplace tienen términos en el denominador.

De acuerdo con (5.8), los ceros de son los valores de que hacen que sea cero, es decir son iguales a los polos de . Por esta razón también podemos definir el tipo de sistema como el número de polos en que tenga .

Tabla 5.2: Error de estado estacionario para sistemas discretos

Tipo de sistema	$u(k)=\mu(k)$	$u(k)=k\mu(k)$	$u(k)=k^2\mu(k)$	$\cdots$
				$\cdots$

0	$\lim_{z\to 1}\left\{zF_E(z)\right\}$	$\infty$	$\infty$	$\cdots$
1	0	$\lim_{z\to 1}\left\{\frac{z}{(z-1)}F_E(z)\right\}$	$\infty$	$\cdots$
2	0	0	$\lim_{z\to 1}\left\{\frac{z(z+1)}{(z-1)^2}F_E(z)\right\}$	$\cdots$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$