Subsecciones

5.2 Estabilidad y criterios de estabilidad en sistemas continuos En este capítulo empleamos la definición de estabilidad de entrada acotada - salida acotada5.3, tambien conocida como estabilidad BIBO por sus siglas en inglés (Bounded Input - Bounded Output).

Un sistema dinámico es BIBO estable si cualquier entrada acotada produce una salida acotada. En otras palabras, si ante entradas de valor fininto la respuesta (su valor absoluto) no tiende a infinito.

La figura [*] muestra que las funciones continuas cuyos valores absolutos crecen indefinidamente tienen sus polos en el semiplano derecho. Si una función de transferencia tiene uno de sus polos en esa zona la respuesta natural tenderá a infinito, independientemente del valor de la entrada, y por tanto el sistema sera inestable.

En consecuencia, para asegurar que un sistema dinámico lineal sea estable, todos los polos de su función de transferencia deben estar en el semiplano izquierdo. Basta con que un polo esté en el semiplano derecho para que el sistema sea inestable. Si existe un polo en el eje imaginario, es decir, en la frontera entre los semiplanos derecho e izquierdo, se dice que el sistema es marginalmente estable.

5.2.1 Arreglo y criterio de Routh-Hurwitz

Dado que la estabilidad de un sistema dinámico está determinada por la ubicación de los polos de su función de transferencia, es decir por la ubicación de las raíces de un cierto denominador, planteamos ahora el siguiente problema:

¿Cómo determinar si las raíces de un polinomio como (5.15) están ubicadas todas en el semiplano izquierdo?

$\displaystyle p(s)=a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0$ (5.15)

Antes de contestar esta pregunta, hacemos notar lo siguiente:

Para demostrar lo anterior, supóngase primero que (5.15) tiene sólo raíces reales, y por tanto puede factorizarse asi:

$\displaystyle p(s)=A(s-\alpha_1)(s-\alpha_2)\cdots(s-\alpha_n)$ (5.16)

Si las raíces $ \alpha_i$ son todas negativas, los términos $ -\alpha_i$ serán todos positivos, y en general el producto $ (s-\alpha_1)(s-\alpha_2)\cdots(s-\alpha_n)$ tendrá todos los coeficientes positivos. De esta forma, los coeficientes de (5.15) serán todos positivos o todos negativos, dependiendo del signo de $ A$ en (5.16). Por esta razón, si $ p(s)$ tiene coeficientes de signos diferentes o cero, necesariamente al menos un término $ -\alpha_i$ debe ser negativo, lo que implicaría que tendría al menos una raiz positiva (en el semiplano derecho).

Ahora supóngase que (5.15) tiene dos raíces complejas conjugadas:

$\displaystyle p(s)=A(s-(\delta+j\omega))(s-(\delta-j\omega))(s-\alpha_3)\cdots(s-\alpha_n)$ (5.17)

El producto de los términos que tienen que ver con las raíces complejas es:

$\displaystyle (s-(\delta+j\omega))(s-(\delta-j\omega))=s^2-2\delta s +(\delta^2+\omega^2)$ (5.18)

Si $ \delta<0$, es decir si las raíces están en el semiplano izquierdo, ( 5.18) tendrá sólo coeficientes positivos, y por tanto (5.15) tendrá todos sus coeficentes del mismo signo (positivos si $ A$ es positiva y negativos si $ A$ es negativa).

Como consecuencia de lo anterior, si (5.15) tiene coeficientes de signos diferentes, o cero, podemos asegurar que tiene una o más raíces en el semiplano derecho o en el eje imaginario. Si por el contrario tiene todos los coeficientes de igual signo, es necesario realizar otro tipo de pruebas antes de establecer la ubicación de sus raíces. Una de esas pruebas se conoce como la prueba de Routh-Hurwitz, para lo cual es necesario primero construir un arreglo específico con los coeficientes de (5.15)


5.2.1.1 Construcción del arreglo de Routh

Dado un polinomio $ p(s)$ como (5.15)

Es posible construir el arreglo de Routh de $ p(s)$ a partir de los coeficientes $ a_i$ que aparecen en (5.15). Para ello, inicialmente construimos el arreglo que se muestra en la figura 5.3. A continuación, se completa el arreglo de Routh línea por línea, siguiendo las siguientes indicaciones.

Figura 5.3: Arreglo de Routh. Primeras dos líneas
\begin{figure}\centering \begin{tabular}{l\vert cccc} $s^n$\ & $a_n$\ & $a_{n-2}... ...\vdots$\ &&&& \\ $s^{1}$\ &&&& \\ $s^{0}$\ &&&& \\ \end{tabular} \end{figure}

Figura 5.4: Arreglo de Routh. Dos líneas genéricas
\begin{figure}\centering \begin{tabular}{l\vert cccc} $\vdots$\ &&&& \\ $s^{i+2... ... & $c_2$\ & $c_3$\ & $\cdots$\ \\ $\vdots$\ &&&& \\ \end{tabular} \end{figure}

Ejemplo 5.4   Considere el polinomio

$\displaystyle p(s)=s^5+s^4+3s^3+9s^2+16s+10$ (5.20)

La figura 5.5 muestra las dos primeras líneas del arreglo de routh para (5.20)

Figura 5.5: Arreglo de Routh del ejemplo 5.4. Primeras dos líneas
\begin{figure}\centering \begin{tabular}{l\vert ccc} $s^5$\ & $1$\ & $3$\ & $16$... ...$e_1$&$e_2$&$e_3$\ \\ $s^0$\ &$f_1$&$f_2$&$f_3$\ \\ \end{tabular} \end{figure}

Los valores de la línea correspondiente a $ s^3$ se calculan asi:

$\displaystyle c_1=-\frac{\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 1 & 9 \\ \end{vmatrix}}{1}=-6 \qquad c_2=-\frac{\begin{vmatrix}1 & 16 \\ 1 & 10 \\ \end{vmatrix}}{1}=6 $

No es necesario calcular $ c_3$, porque ya no hay más columnas en las dos primeras líneas, y por lo tanto el resultado será 0.

Para la línea correspondiente a $ s^2$ se tiene:

$\displaystyle d_1=-\frac{\begin{vmatrix}1 & 9 \\ -6 & 6 \\ \end{vmatrix}}{-6}=10 \qquad d_2=-\frac{\begin{vmatrix}1 & 10 \\ -6 & 0 \\ \end{vmatrix}}{-6}=10 $

Para la línea correspondiente a $ s^1$:

$\displaystyle e_1=-\frac{\begin{vmatrix}-6 & 6 \\ 10 & 10 \\ \end{vmatrix}}{10}=12 $

Y para la línea correspondiente a $ s^0$:

$\displaystyle f_1=-\frac{\begin{vmatrix}10 & 10 \\ 12 & 0 \\ \end{vmatrix}}{12}=10 $

El resultado es el arreglo que se muestra en la figura 5.6

Figura 5.6: Arreglo de Routh del ejemplo 5.4
\begin{figure}\centering \begin{tabular}{l\vert cccc} $s^5$\ & $1$\ & $3$\ & $16... ...$\ && \\ $s^1$\ &$12$\ &&& \\ $s^0$\ &$10$\ &&& \\ \end{tabular} \end{figure}

Es conveniente resaltar algunos aspectos de la construcción del arreglo


5.2.1.2 Criterio de Routh-Hurwitz

El criterio de Routh-Hurtwiz puede expresarse asi:

Criterio de Routh-Hurwitz
El número de raíces de (5.15) en el semiplano derecho es igual al número de cambios de signo que se suceden en la primera columna del arreglo de Routh de dicho polinomio.

Retomando el ejemplo 5.20, el polinomio (5.20) tiene dos raíces en el semiplano derecho, ya que su arreglo de Routh (figura 5.6) tiene dos cambios de signo en la primera columna: uno al pasar de $ 1$ a $ -6$, y otro al pasar de $ -6$ a $ 10$.

Miremos ahora el sistema realimentado de la figura 5.1. La función de transferencia, y por lo tanto sus polos, dependen de la variable $ K$, como claramente se establece en (5.5). La utilización del criterio de Routh-Hurwitz permite establecer condiciones en la varible $ K$ para que el sistema realimentado sea estable. Esto podemos verlo mediante los ejemplos 5.5, 5.6 y 5.7:

Ejemplo 5.5   Supóngase que en el sistema de la figura 5.1 se tiene que

$\displaystyle G(s)=\frac{1}{s+2}\qquad H(s)=\frac{1}{s+1} $

La función de transferencia del sistema realimentado es

$\displaystyle F(s)=\frac{KG(s)}{1+KG(s)H(s)}=\frac{K(s+1)}{s^2+3s+(K+2)} $

El arreglo de Routh para el polinomio del denominador $ s^2+3s+(k+2)$ se muestra en la figura 5.7.

Figura: Arreglo de Routh del ejemplo 5.5
\begin{figure}\centering \begin{tabular}{l\vert cc} $s^2$\ &$1$\ &$K+2$\ \\ $s^1$\ &$3$\ & \\ $s^0$\ &$K+2$\ & \\ \end{tabular} \end{figure}

Para que todas las raíces estén en el semiplano izquierdo, y por lo tanto el sistema sea estable, se necesita que todos los signos de la primera columna sean iguales, y por lo tanto:

$\displaystyle K+2>0\qquad K>-2 $

Podemos concluir que para cualquier valor de $ k$ superior a $ -2$ el sistema será estable, y para cualquier valor menor que $ -2$ será inestable. Justo cuando $ k=-2$ el sistema tendrá estabilidad Marginal.

Ejemplo 5.6   Supóngase que en el sistema de la figura 5.1 se tiene que

$\displaystyle G(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)}\qquad H(s)=\frac{1}{s+3} $

La función de transferencia del sistema realimentado es

$\displaystyle F(s)=\frac{KG(s)}{1+KG(s)H(s)}=\frac{K(s+3)}{s^3+6s^2+11s+(6 +K)}$ (5.21)

El arreglo de Routh para el polinomio del denominador $ s^3+6s^2+11s+(6+K)$ se muestra en la figura 5.8.

Figura: Arreglo de Routh del ejemplo 5.6
\begin{figure}\centering \begin{tabular}{l\vert cc} $s^3$\ &$1$\ &$11$\ \\ $s^2... ... $s^1$\ &$\frac{60-K}{6}$\ & \\ $s^0$\ &$6+K$\ & \\ \end{tabular} \end{figure}

Para que todas las raíces estén en el semiplano izquierdo, y por lo tanto el sistema sea estable, se necesita que todos los signos de la primera columna sean iguales, y por lo tanto:

$\displaystyle 60-K>0$   y$\displaystyle \qquad 6+K>0 $

Podemos concluir que para cualquier valor de $ K$ en el intervalo $ (-6,60)$ el sistema será estable, y para cualquier valor por fuera de ese intervalo será inestable. Justo cuando $ K=-6$ o $ K=60$ el sistema tendrá estabilidad Marginal.

Ejemplo 5.7   Supóngase que existe un sistema dinámico continuo cuya función de transferencia tiene el siguiente denominador

$\displaystyle D_F(s)=s^3+3Ks^2+(K+2)s+4 $

El arreglo de Routh correspondiente se muestra en la figura 5.9.

Figura 5.9: Arreglo de Routh del ejemplo 5.7
\begin{figure}\centering \begin{tabular}{l\vert cc} $s^3$\ &$1$\ &$K+2$\ \\ $s^... ...1$\ &$\frac{3K^2+6K-4}{3K}$\ & \\ $s^0$\ &$4$\ & \\ \end{tabular} \end{figure}

Para que el sistema sea estable se necesita que todos los términos de la primera columna sean del mismo signo, por lo tanto deben cumplirse las siguientes dos condiciones

$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} 3K >0 \\ \frac{3K^2+6K-4}{3K}>0 \\ \end{matrix}\right. $

La segunda condición podría darse si tanto numerador como denominador son del mismo signo, sin embargo descartamos la opción de que ambos sean negativos, porque la primera condición impone que el denominador sea positivo, es decir las dos condiciones son:

$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} K >0 \\ 3K^2+6K-4>0 \\ \end{matrix}\right. $

La segunda condición se cumple si $ K<-2.52$ o $ K>0.52$. De estas dos posibilidades descartamos la primera, debido a que $ K$ debe ser positivo. Por lo tanto, aseguramos que el sistema sea estable si y sólo si $ K>0.52$


5.2.1.3 Problemas en la construcción del arreglo de Routh

Debido a que los términos del arreglos de Routh se calculan como está indicado en (5.19), surge una dificultad cuando en la primera columna aparece un cero, pues para calcular los términos de las columnas siguientes será necesario dividir por cero. Tal es el caso del polinomio

$\displaystyle p(s)=s^4+s^3+2s^2+2s+3 $

cuyo arreglo de Routh se muestra (parcialmente) en la figura 5.10.

Figura 5.10: Arreglo de Routh con cero en la primera columna. Arreglo incompleto
\begin{figure}\centering \begin{tabular}{l\vert ccc} $s^4$\ &$1$\ &$2$\ &$3$\\ ... ...^2$\ &$0$\ &$3$\ &\\ $s^1$\ & & &\\ $s^0$\ & & &\\ \end{tabular} \end{figure}

Para calcular los términos de la siguiente columna sería necesario dividir por cero. Una estrategia para obviar este problema consiste en remplazar 0 por $ \varepsilon$, completar el arreglo, y luego analizar el límite cuando $ \varepsilon$ tiende a cero por la derecha. En esas condiciones, el arreglo de Routh será como el que se muestra en la figura 5.11. Cuando $ \varepsilon\to 0^+$, el arreglo resulta ser como el de la figura 5.12, y por lo tanto el polinomio tiene dos raíces en el semiplano derecho.

Figura 5.11: Arreglo de Routh con cero en la primera columna. Aproximación
\begin{figure}\centering \begin{tabular}{l\vert ccc} $s^4$\ &$1$\ &$2$\ &$3$\\ ... ...$2-\frac{3}{\varepsilon}$\ & &\\ $s^0$\ &$3$\ & &\\ \end{tabular} \end{figure}

Figura 5.12: Arreglo de Routh con cero en la primera columna. Arreglo completo
\begin{figure}\centering \begin{tabular}{l\vert ccc} $s^4$\ &$1$\ &$2$\ &$3$\\ ... ...$\ &\\ $s^1$\ &$-\infty$\ & &\\ $s^0$\ &$3$\ & &\\ \end{tabular} \end{figure}

Una dificultad mayor surge cuando todos los términos de una fila se hacen cero. Este hecho se conoce como la terminación prematura del arreglo, y está relacionada con polinomios cuyas raíces están ubicadas en forma simétrica respecto al origen, como por ejemplo cuando existen raíces en el eje imaginario. Tal es el caso del polinomio

$\displaystyle p(s)=s^5+s^4+5s^3+5s^2+4s+4 $

cuyo arreglo de Routh se muestra (parcialmente) en la figura 5.13.

Figura 5.13: Arreglo de Routh con terminación prematura. Arreglo incompleto
\begin{figure}\centering \begin{tabular}{l\vert ccc} $s^5$\ &$1$\ &$5$\ &$4$\\ ... ... &\\ $s^2$\ & & &\\ $s^1$\ & & &\\ $s^0$\ & & &\\ \end{tabular} \end{figure}

La estrategia a emplear en este caso consiste en escribir el polinomio $ \hat{p}(s)$ que se obtiene con los coeficientes de la fila inmediatemente superior a la que quedó con ceros; el orden del primer monomio está dado por el término a la izquierda de la línea vertical ($ s^4$ en el ejemplo) y el de los demás monomios se decrementa en dos:

$\displaystyle \hat{p}(s)=s^4+5s^2+4 $

Este polinomio resulta ser un divisor exacto de $ p(s)$ (puede comprobarse que $ p(s)=\hat p(s)(s+1)$). El arreglo de Routh lo continuamos remplazando la fila de ceros por los coeficientes de la derivada de $ \hat{p}(s)$:

$\displaystyle \frac{d\hat{p}(s)}{ds}=4s^3+10s $

El arreglo resultante se muestra en la figura 5.14

Figura 5.14: Arreglo de Routh con terminación prematura. Arreglo completo
\begin{figure}\centering \begin{tabular}{l\vert ccc} $s^5$\ &$1$\ &$5$\ &$4$\\ ... ... &$4$\ &\\ $s^1$\ &$3.6$\ & &\\ $s^0$\ &$4$\ & &\\ \end{tabular} \end{figure}

5.2.2 Lugar geométrico de las raíces

De acuerdo con la ecuación (5.5) los polos de la función de transferencia de un sistema como el de la figura5.1 dependen del valor de $ K$. El lugar geométrico de las raíces, o simplemente root-locus es el gráfico en el plano $ s$ de la ubicación de los polos de (5.5) conforme $ K$ varia de cero a infinito ( $ K:0\to\infty$).

Se define también el root-locus complementario como el gráfico en el plano $ s$ de la ubicación de los polos de (5.5) conforme $ K$ varia de menos infinito a cero ( $ K:-\infty\to 0$)

Ejemplo 5.8   Supóngase que en el sistema de la figura 5.1 los bloques $ G(s)$ y $ H(s)$ son:

$\displaystyle G(s)=\frac{1}{(s+1)}\qquad H(s)=\frac{1}{(s+3)} $

De tal manera que la función de transferencia del sistema realimentado es

$\displaystyle F(s)=\frac{K(s+3)}{s^2+4s+(3+K)}$ (5.22)

Los polos de 5.22 estarán dados por

$\displaystyle p_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{16-4(3+K)}}{2}=-2\pm\sqrt{1-K}$ (5.23)

La tabla 5.3 muestra el valor de $ p_{1,2}$ para diversos valores positivos de $ K$, según (5.23). La figura 5.15 muestra cómo varía la ubicación de los polos de (5.22): en rojo se muestra qué sucede al variar $ K$ de 0 a $ \infty$ es decir, lo que corresponde al root-locus; en azul se muestra el efecto de variar $ K$ de menos infinito a cero, lo que corresponde al root-locus complementario.


Tabla 5.3: Polos de la función de transferencia del ejemplo 5.8
$ K$ $ p_1$ $ p_2$
$ -8$ $ -5$ $ 1$
$ -3$ $ -4$ 0
0 $ -3$ $ -1$
$ 0.75$ $ -2.5$ $ -1.5$
$ 1$ $ -2$ $ -2$
$ 2$ $ -2+j$ $ -2-j$
$ 5$ $ -2+2j$ $ -2-2j$


\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/realimenta/root_eje} }\end{center}


5.2.2.1 Determinación de la estabilidad

Si nos referimos a la ecuación (5.5), encontramos que la condición para los polos de $ F(s)$ será

$\displaystyle D_G(s)D_H(s)+KN_G(s)N_H(s)=0 $

$\displaystyle \frac{N_G(s)N_H(s)}{D_G(s)D_H(s)}=-\frac{1}{K} \qquad G(s)H(s)=-\frac{1}{K}$ (5.24)

Es importante hacer notar que la condición expresada en (5.24) está dada en términos de la ganancia de lazo abierto $ G(s)H(s)$ en lugar de la función de transferencia del sistema realimentado (5.5). Dado que $ G(s)$ es un complejo, (5.24) puede escribirse en términos de su magnitud y ángulo:

$\displaystyle \vert G(s)H(s)\vert=\frac{1}{\vert K\vert}\qquad \arg[{G(s)H(s)}]... ...begin{matrix}\pm 180^\text{o} & K>0 \\ 0^\text{o} & K<0 \\ \end{matrix} \right.$ (5.25)

De acuerdo con (5.25), si un valor $ s_0$ forma parte del root-locus, entonces $ \arg{[G(s_0)H(s_0)]}=\pm 180^$o; además, podemos saber cuál es el valor de $ K$ que hace que la rama del root-locus pase justamente por $ s_0$, pues $ \vert K\vert=\frac{1}{\vert G(s_0)H(s_0)\vert}$; como $ K$ es positiva (estamos suponiendo que $ s_0$ está en el root-locus) entonces $ K=\frac{1}{\vert G(s_0)H(s_0)\vert}$.

Si por el contrario, $ s_0$ forma parte del root-locus complementario, entonces. $ \arg{[G(s_0)H(s_0)]}=0^$o; el valor de $ K$ que hace que la rama del root-locus pase justamente por $ s_0$, será tal que pues $ \vert K\vert=\frac{1}{\vert G(s_0)H(s_0)\vert}$; como $ K$ es negativa (estamos suponiendo que $ s_0$ está en el root-locus complementario) entonces $ K=-\frac{1}{\vert G(s_0)H(s_0)\vert}$.

Ejemplo 5.9   Si tomamos el ejemplo de la figura 5.15, podemos conocer cuál es el valor de $ K$ que hace que la rama del root-locus complementario que viene desde $ \infty$ llegue a 0. Este valor será justamente:

$\displaystyle K=-\frac{1}{\vert G(s_0)H(s_0)\vert}=-\frac{1}{\frac{1}{(0+1)(0+3)}}=-3 $

De esta manera, podemos concluir que para valores de $ K$ menores que $ -3$ siempre habrá un polo en el semiplano derecho, y por lo tanto el sistema será inestable. Para valores $ K$ mayores que $ -3$ todas las ramas del root-locus están en el semiplano izquierdo, y por lo tanto el sistema será estable.

Ejemplo 5.10   Supóngase que en la figura 5.1 los valores de $ G(s)$ y $ H(s)$ son

$\displaystyle G(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)}\qquad H(s)=\frac{1}{(s+3)}$ (5.26)

La figura 5.16 muestra los diagramas de Root-Locus y Root-Locus complementario para (5.26). Nótese como una rama del root locus complementario (en azul) viene desde $ +\infty$ por el eje real, y pasa del semiplano derecho al semiplano izquierdo. Esto significa que para valores de $ K$ muy negativos el sistema realimentado tiene un polo en el semiplano derecho y por lo tanto es inestable.

\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/realimenta/eje_root} }\end{center}

Sin embargo, conforme $ K$ aumenta y se acerca a 0 el polo que origina la inestabilidad se desplaza a la izquierda, y en algún momento pasa al semiplano izquierdo y por lo tanto el sistema realimentado deja de ser inestable. Para determinar cuál es el valor de $ K$ en el que sucede esta transición, observamos que la rama cruza el eje imaginario justo en $ s=0+j0$. De acuerdo con 5.25 tenemos:

$\displaystyle \vert G(s)H(s)\vert=\frac{1}{\vert K\vert}=\frac{1}{\vert(0+j0+1)(0+j0+2)(0+j0+3)\vert}=\frac{1}{6}$ (5.27)

$\displaystyle \vert K\vert=6$ (5.28)

La ecuación (5.28) establece cuál es el valor absoluto de $ K$ que hace que la rama del root-locus complementario pase del semiplano derecho al izquierdo. Como sabemos que se trata de valores negativos de $ K$ podemos establecer que para $ K<-6$ el sistema realimentado es inestable, mientras que para $ -6<K\leq0$ es estable.

Si observamos ahora el diagrama de root-locus (en rojo) observamos que existen dos ramas (simétricas respecto al eje horizontal) que nacen en el semiplano izquierdo y pasan al semiplano derecho. Esto significa que para valores pequeños de $ K$ el sistema realimentado es estable, pero a partir de algún valor positivo de $ K$ se torna en inestable.

Las dos ramas cruzan el eje imaginario simultaneamente, asi que para determinar el momento en el que sucede la transición basta con estudiar una de ellas. Tomemos por ejemplo la rama superior, que cruza el eje imaginario en $ 0+j3.316$. El valor de $ K$ en el que esto sucede puede determinarse empleando 5.25:

$\displaystyle \frac{1}{\vert K\vert}=\frac{1}{\vert(0+j3.316+1)(0+j3.316+2)(0+j3.316+3)\vert}=\frac{1}{60}$ (5.29)

$\displaystyle \vert K\vert=60$ (5.30)

Según la ecuación (5.30) para $ 0\leq K<60$ el sistema retroalimentado es estable, y para $ K>60$ es inestable.

Combinando esta información con la que se obtuvo al analizar el root-locus complementario puede concluirse que el sistema realimentado es estable si y sólo si $ K\in(-6,60)$


5.2.2.2 Reglas de construcción de los diagramas

La figura 5.15 ha sido construida a partir de la expresión exacta de la ubicación de los polos, dada por (5.23). No obstante, podría haberse empleado un método diferente, ya que existen varias reglas constructivas, que permiten trazar manualmente el root-locus y el root-locus complementario de funciones de transferencia de orden superior, con un alto grado de precisión.

Estas reglas constructivas, algunas de las cuales se han resumido en la tabla 5.55.4, se basan en la ecuación (5.5). En el ejemplo 5.11 se muestra cómo se emplean estas reglas.


Tabla 5.5: Reglas de construcción para el root-locus y el root-locus complementario
  Regla root-locus root-locus complementario
$ R_1:$ número de ramas $ n$ $ n$
$ R_2:$ Inicio de las ramas Polos de $ G(s)H(s)$ (o en $ \infty$) Ceros de $ G(s)H(s)$ (o en $ \infty$)
$ R_3:$ Fin de las ramas Ceros de $ G(s)H(s)$ (o en $ \infty$) Polos de $ G(s)H(s)$ (o en $ \infty$)
$ R_4:$ Intervalos del eje real A la izquierda de un número impar de polos y ceros de $ G(s)H(s)$ A la izquierda de un número par de polos y ceros de $ G(s)H(s)$
$ R_5:$ Número de ramas que van hacia (o vienen desde) $ \infty$ $ \vert n-m\vert$ $ \vert n-m\vert$
$ R_6:$ Ángulos de las rectas asíntotas $ \theta_i=\frac{2i+1}{\vert n-m\vert}180^$o$ \;$ $ i=0,1,\cdots,\vert n-m\vert$ $ \theta_i=\frac{2i}{\vert n-m\vert}180^$o$ \;$ $ i=0,1,\cdots,\vert n-m\vert$
$ R_7:$ Centroide de las rectas asíntotas

$ \sigma=\frac{\sum^n{\text{polos de }G(s)H(s)}- \sum^m{\text{ceros de }G(s)H(s)}}{\vert n-m\vert}$


Ejemplo 5.11   Trazar el root-locus y el root-locus complementario de

$\displaystyle G(s)H(s)=\frac{s+1}{s(s+4)(s^2+2s+2)} $

Para trazar el diagrama de root-locus, comenzamos por ubicar en el plano complejo los polos y ceros de $ G(s)H(s)$ (figura 5.17(a)). De acuerdo con la Regla $ R_4$, podemos definir qué intervalos del eje real forman parte del root locus y cuales del root locus complementario (figura 5.17(b)). Las reglas $ R_2$ y $ R_3$ nos permiten determinar si las ramas del eje real llegan o salen de los ceros y polos de $ G(s)H(s)$ (figura 5.17(c))

Según la regla $ R_5$, deberán existir $ 4-1=3$ ramas que van al infinito en el root locus, y otras $ 3$ ramas que vienen desde el infinito en el root locus complementario. Estas ramas serán asíntotas a unas rectas que cruzan el eje real en el centroide $ \sigma$, que según la regla $ R_7$ será:

$\displaystyle \sigma=\frac{((0)+(-4)+(-1+j)+(-1-j)-(-1)}{4-1}=\frac{-5}{3} $

Podemos calcular los ángulos de esas rectas siguiendo la regla $ R_6$ (figura 5.17(d))

$ i$ RL RLC
0 $ \theta_0=\frac{2i+1}{4-1}180^$o$ =60^$o $ \theta_0=\frac{2i}{4-1}180^$o$ =0^$o
$ 1$ $ \theta_1=\frac{2i+1}{4-1}180^$o$ =180^$o $ \theta_1=\frac{2i}{4-1}180^$o$ =120^$o
$ 2$ $ \theta_2=\frac{2i+1}{4-1}180^$o$ =300^$o $ \theta_2=\frac{2i}{4-1}180^$o$ =240^$o

Con esta información podriamos trazar parte de las ramas que van o vienen al infinito (figura 5.17(e)), pero sería necesario emplear otras reglas, o programas de simulación, para obtener los diagramas completos (figura 5.17(f))

\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/realimenta/root_eje_construye_todo} }\end{center}


5.2.3 Diagramas y criterio de Bode

El análisis del lugar geométrico de las raíces permite establecer la ubicación de los polos de un sistema como el de la figura 5.1 conforme cambia el valor de $ K$. Si estamos interesados en estudiar la estabilidad del sistema, debemos analizar los puntos en los cuales las ramas del root-locus y el root locus complementario cruzan el eje imaginario, pues es en ese punto en donde los polos pasan del semiplano izquierdo al derecho, o viceversa, y por lo tanto son los puntos en donde puede cambiar la estabilidad del sistema realimentado.

Además, el root-locus es simétrico respecto al eje horizontal, por lo cual basta con estudiar en qué momento las ramas atraviesan una de las dos mitades del eje imaginario, generalmente la mitad positiva.

Este hecho sugiere otra posibilidad de estudiar la estabilidad de los sistemas realimentados: En lugar de estudiar en dónde están ubicadas las ramas del root-locus en todo el plano complejo, centrar nuestra atención únicamente en el eje imaginario positivo, y detectar cuándo es atravesado por alguna rama del root-locus.

Recordemos que de acuerdo con (5.25) los puntos del plano complejo que forman parte del root-locus son tales que al evaluar en ellos la función $ G(s)H(s)$ el ángulo del número complejo resultante debe ser $ \pm 180^$o o $ 0^$o.

De acuerdo con lo anterior, los puntos en donde puede cambiar la estabilidad del sistema realimentado coincide con aquellos puntos $ j\omega$ del eje imaginario en donde

$\displaystyle \arg{\left\{G(j\omega)H(j\omega)\right\}}=\left\{ \begin{matrix}\pm 180^\text{o} \\ 0^\text{o} \end{matrix} \right.$ (5.31)

Para encontrar cuáles son los valores de $ \omega$ que satisfacen (5.31) pueden trazarse los diagramas de bode5.5 de $ G(s)H(s)$ y buscar gráficamente en el diagrama de fase cuáles son los puntos en donde el ángulo de $ G(j\omega)H(j\omega)$ vale $ \pm 180^$o o $ 0^$o, tal como se muestra en la figura 5.185.6.

Para determinar los valores de $ K$ en los cuales la rama del root-locus atraviesa el eje imaginario, puede emplearse nuevamente

(5.25):

$\displaystyle \left\vert G(j\omega)H(j\omega)\right\vert=\frac{1}{\vert K\vert}$ (5.32)

El valor de $ \left\vert G(j\omega)H(j\omega)\right\vert$ puede leerse (en decibeles) en el diagrama de bode de magnitud, tal como se muestra en la figura 5.18. A partir de ese valor, y empleando (5.32) puede determinarse los valores de $ K$ para los cuales una rama del root-locus atraviesa el eje imaginario ($ K_c$ en la figura 5.18).

\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/realimenta/root_bode} }\end{center}


5.2.3.1 Márgenes de estabilidad

Las ecuaciones (5.31) y (5.32) establecen dos condiciones que deben cumplir los puntos $ j\omega$ del plano complejo para formar parte del root-locus o del root-locus complementario; una de las condiciones hace referencia a la gananacia de $ G(s)H(s)$ y la otra a su fase. La idea de los márgenes de estabilidad consiste en suponer que $ k=1$, y explorar qué margen se tiene cuando se cumple una de esas condiciones:

Margen de ganancia:
El margen de ganancia consiste en el menor valor por el que se debe amplificar la ganancia de $ G(s)H(s)$ cuando se satisface la condición (5.31), para que simultáneamente se cumpla la condición (5.32).

Para el caso en que $ K>0$, el margen de ganancia puede leerse (en decibeles) en los diagramas de bode como el valor negativo de la ganancia a la frecuencia en la que la fase es de $ \pm180^$o.

Para el caso en que $ K<0$, el margen de ganancia puede leerse (en decibeles) en los diagramas de bode como el valor negativo de la ganancia a la frecuencia en la que la fase es de $ 0^$o.

Margen de fase:
El margen de fase consiste en el menor valor que se le debe sumar al ángulo de $ G(s)H(s)$ cuando se satisface la condición (5.32), para que simultáneamente se cumpla la condición (5.31)

Para el caso en que $ K>0$, el margen de fase puede leerse en los diagramas de bode como $ 180^$o$ -\phi$, donde $ \phi$ es el ángulo a la frecuencia en la que la ganancia es de $ 0db$.

Para el caso en que $ K<0$, el margen de fase puede leerse en los diagramas de bode como $ -\phi$, donde $ \phi$ es el ángulo a la frecuencia en la que la ganancia es de $ 0db$.

Ejemplo 5.12   Supóngase que en el sistema de la figura 5.1 los bloque $ G(s)$ y $ H(s)$ son:

$\displaystyle G(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)}\qquad H(s)=\frac{1}{(s+3)}$ (5.33)

La figura 5.19 muestra los Diagramas de Bode de $ G(s)H(s)$. Según (5.31) los puntos en los cuales puede cambiar la estabilidad del sistema realimentado son aquellos en los que el ángulo de $ G(j\omega)H(j\omega)$ es $ 0^$o o es $ \pm180^$o.

\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/realimenta/eje_bode} }\end{center}

Al observar la figura 5.19 notamos que el ángulo de $ G(j\omega)H(j\omega)$ es $ -180^$o para una frecuencia de $ 0.528$Hz, es decir para $ \omega=2\pi 0.528=3.316rad/s$. En esa frecuencia el valor de la magnitud de $ G(j\omega)H(j\omega)$ es de $ -35.56$db, lo que significa que la magnitud de $ K$, en decibeles, para la cual una rama del root-locus atraviesa el eje imaginario es tal que $ \frac{1}{\vert K\vert _\text{en db}}=-35.56$, lo que equivale a:

$\displaystyle \frac{1}{\vert K\vert}=10^{\frac{\vert K\vert _{\text{en db}}}{20... ...rt K\vert _{\text{en db}}}{20}} \qquad \vert K\vert=10^{-\frac{-35.56}{20}}=60 $

como $ K>0$ (hemos encontrado una rama del root locus) entonces $ K=60$.

También debemos buscar los puntos para los cuales el ángulo de $ G(j\omega)H(j\omega)$ es $ 0^$o. En la figura 5.19 se observa que el diagrama de fase es asintótico a $ 0^$o, es decir, que para $ \omega=0$ el ángulo de $ G(j\omega)H(j\omega)$ es $ 0^$o. El diagrama de magnitud de $ G(j\omega)H(j\omega)$ es asintótico a $ -15.56$db, lo que significa que la magnitud de $ K$, en decibeles, para la cual una rama del Root-Locus complementario atraviesa el eje imaginario es tal que $ \frac{1}{\vert K\vert _\text{en db}}=-15.56$, lo que equivale a:

$\displaystyle \frac{1}{\vert K\vert}=10^{\frac{\vert K\vert _{\text{en db}}}{20... ...ert K\vert _{\text{en db}}}{20}} \qquad \vert K\vert=10^{-\frac{-15.56}{20}}=6 $

como $ K<0$ (hemos encontrado una rama del root locus complementario) entonces $ K=-6$.

Hemos encontrado los valores de $ K$ para los cuales un polo cruza el eje imaginario, y han resultado ser $ -6$ y $ 60$. Esto significa que al variar $ K$ desde $ -\infty$ hasta $ \infty$, la estabilidad del sistema realimentado sólo puede cambiar en $ -6$ y $ 60$. En consecuencia, podemos definir tres intervalos para $ K$ en los cuales la estabilidad es constante; para conocer la estabilidad de cada intervalo basta con determinar la de uno de sus puntos:

  • $ K \in (-\infty,-6)$: Seleccionamos $ K=-10$ de tal manera que el denominador de (5.21) se convierte en

    $\displaystyle s^3+6s^2+11s-4 $

    Como el denominador tiene coeficientes de signos diferentes al menos tiene una raiz en el semiplano derecho, y en consecuencia el sistema realimentado es inestable.

  • $ K \in (-6,60)$: Seleccionamos $ K=0$ de tal manera que el denominador de (5.21) se convierte en

    $\displaystyle s^3+6s^2+11s+6=(s+1)(s+2)(s+3) $

    Las raices del denominador son negativas ($ -1$, $ -2$ y $ -3$) , y en consecuencia el sistema realimentado es estable.

  • $ K \in (60,\infty)$: Seleccionamos $ K=100$ de tal manera que el denominador de (5.21) se convierte en

    $\displaystyle s^3+6s^2+11s+106 $

    cuyas raices son $ -6.71$ y $ .36\pm j3.96$, es decir que tiene dos raices en el semiplano derecho y en consecuencia el sistema realimentado es inestable.

5.2.4 Diagrama y criterio de Nyquist

Para poder presentar el criterio de Nyquist, es conveniente recordar antes el principio del argumento, que puede explicarse a partir de la metodología gráfica para calcular el valor de una función compleja racional.

5.2.4.1 Determinación gráfica del valor de una función compleja racional

Supóngase una función compleja $ F(s)$ que puede escribirse como una razón de polinomios:

$\displaystyle F(s)=\frac{a_0+a_1s^1+\cdots+a_ms^m}{b_0+b_1s^1+\cdots+b_ns^n}$ (5.34)

Al factorizar los polinomios, la ecuación (5.34) podrá escribirse como

$\displaystyle F(s)=A\frac{(s-c_1)(s-c_2)\cdots(s-c_m)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)}$ (5.35)

Si se quiere calcular el valor de $ F(s)$ para un valor específico de $ s$, digamos $ s_0$, es decir, si se quiere calcular $ F(s_0)$, basta con remplazar $ s$ por $ s_0$:

$\displaystyle F(s_0)=A\frac{(s_0-c_1)(s_0-c_2)\cdots(s_0-c_m)}{(s_0-p_1)(s_0-p_2)\cdots(s_0-p_ n)}$ (5.36)

Cada uno de los paréntesis que aparecen en (5.36) puede determinarse de forma gráfica, tal como se explica a continuación: La figura 5.20 muestra el diagrama de polos y ceros de una función de transferencia $ F(s)$ hipotética; en dicho diagrama se observa que el vector $ (s_0-c_1)$ corresponde al vector que va desde $ c_1$ hasta $ s_0$. La magnitud y el ángulo de dicho vector pueden medirse en la gráfica, y correspondería al primero de los paréntesis de (5.36).

\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/realimenta/FT_grafica} }\end{center}

De forma similar podría procederse con cada uno de los paréntesis de (5.36), de tal manera que una forma de calcular la magnitud y el ángulo de $ F(s_0)$ sería:

$\displaystyle \vert F(s_0)\vert=\vert A\vert\frac {\prod^{m}{\text{Magnitudes d... ... a }s_0}} {\prod^{n}{\text{Magnitudes de los vectores que van de polos a }s_0}}$ (5.37)

$\displaystyle \begin{matrix}\arg{F(s_0)}=& \arg{A}+{\sum^{m}{\text{Ángulos de l... ...-{\sum^{n}{\text{Ángulos de los vectores que van de polos a }s_0}} \end{matrix}$ (5.38)

siendo $ \arg{A}=0^$o si $ A>0$ o $ \arg{A}=180^$o si $ A<0$


5.2.4.2 Principio del argumento

Para presentar el principio del argumento, supongamos inicialmente que la función $ F(s)$ a que se refiere la ecuación (5.34) es

$\displaystyle F(s)=s+1$ (5.39)

es decir, tiene un único cero en $ s=-1$ y no tiene polos. Supongamos también que deseamos calcular $ F(s_0)$, para $ s_0=1+j$.

La figura 5.21 muestra dos planos complejos: en el primero de ello se ha dibujado el diagrama de polos y ceros de (5.39); este plano lo denominaremos plano s. En el segundo plano se ha dibujado el resultado de calcular $ F(s_0)$, y por eso lo denominaremos plano F. Para obtener $ F(s_0)$ y poder graficarlo en el plano $ F$ se ha empleado el método gráfico en el plano $ s$, y el resultado se ha trasladado, tal como se señala en la figura 5.21.

\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/realimenta/argumento_1} }\end{center}

Si ahora quisieramos calcular $ F(s)$ no en un único punto $ s_0$ sino en todos los puntos de una trayectoria cerrada del plano $ s$, podriamos repetir el procedimiento anterior en cada uno de los puntos de la trayectoria. Las figuras 5.22 y 5.23 muestran los resultados para dos trayectorias diferentes que se han recorrido en el sentido horario. En ambos casos se produce en el plano $ F$ otra trayectoria cerrada en sentido horario.

La principal diferencia entre las dos trayectorias seleccionadas es que la primera de ellas (figura 5.22) no encierra al cero de $ F(s)$ mientras que la segunda (figura 5.22) sí lo hace. Como consecuencia de esto, en el primer caso la trayectoria cerrada que aparece en el plano $ F$ no encierra al origen, mientras que en el segundo sí lo hace.

\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/realimenta/argumento_2} }\end{center} \begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/realimenta/argumento_3} }\end{center}

Las figuras 5.24 y 5.25 muestran cuál habría sido el resultado si $ F(s)$ tuviera un polo en $ s=-1$ en lugar de un cero, es decir si $ F(s)=1/(s+1)$. En el plano $ F$ aparecen trayectorias cerradas que sólo encierran al origen si la trayectoria del plano $ s$ encierra al polo. Sin embargo, debe resaltarse que el sentido de la trayectoria que encierra al origen es antihorario, lo que se explica observando que en la ecuación (5.38) el ángulo de los vectores que van de polos a $ s_0$ tiene signo negativo.

\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/realimenta/argumento_4} }\end{center} \begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/realimenta/argumento_5} }\end{center}

Ahora bien, si la trayectoria hubiese encerrado varios ceros y varios polos, cada uno de estos ceros habría contribuido en 5.36 con un término que habría variado $ 360^$o en sentido horario, mientras que cada polo lo haría con otro término que habría variado $ 360^$o en sentido antihorario.

Otro detalle a tener en cuenta, es que si la trayectoria pasa por un polo de $ F(s)$, al calcularla en ese punto el resutado será $ \infty$, y por lo tanto la trayectoria generada en el plano $ F$ no necesariamente será cerrada. Estos hechos pueden consignarse en el principio del argumento, que se presenta a continuación:

Principio del argumento
Dada una función $ F(s)$, calculada en una trayectoria cerrada $ \Gamma$, que no pasa por ningún polo de $ F(s)$, recorrida en sentido horario, el resultado es también una trayectoria cerrada que encierra al origen en sentido horario un número de veces $ \alpha$:

$\displaystyle \begin{matrix}\alpha=n_\Gamma-m_\Gamma \\ \\ n_\Gamma=\text{Númer... ...a \\ m_\Gamma=\text{Número de polos de F(s) encerrados por }\Gamma \end{matrix}$ (5.40)


5.2.4.3 Trayectoria de Nyquist

La trayectoria de Nyquist para un sistema continuo realimentado como el de la figura 5.1 es una curva cerrada $ \Gamma$ que abarca todo el semiplano derecho, y que no contiene ningún polo de $ G(s)H(s)$. La figura 5.26 muestra la trayectoria de nyquist $ \Gamma$ para el caso general.

Nótese que la trayectoria de Nyquist recorre todo el eje emaginario y regresa por una semicircunferencia de radio $ \infty$, abarcando todo el semiplano derecho.

Para el caso especial en que $ G(s)H(s)$ tiene polos en el eje imaginario es necesario modificar la trayectoria, tal como se muestra en la figura 5.26, mediante pequeñas semicircunferencias de radio arbitrariamente pequeño $ \varepsilon$

\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/realimenta/tray_nyquist_1} }\end{center} \begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/realimenta/tray_nyquist_2} }\end{center}


5.2.4.4 Diagrama de Nyquist

Para un sistema continuo como el de la figura 5.1, el diagrama de Nyquist es la trayectoria orientada que resulta de calcular $ G(s)H(s)$ a través de la trayectoria de Nyquist (ver figura 5.28).

\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/realimenta/nyquist} }\end{center}


5.2.4.5 Criterio de Nyquist

Para el sistema continuo realimentado de la figura 5.1, con $ K=1$ definamos la función

\begin{multline} R(s)=1+G(s)H(s)=1+\frac{N_G(s)}{D_G(s)}\frac{N_H(s)}{D_H(s)}=\\ \frac{D_G(s)D_H(s)+N_G(s)N_H(s)}{D_G(s)D_H(s)} \end{multline}

Si calculamos $ R(s)$ a lo largo de la trayectoria de Nyquist $ \Gamma$, el resultado es una curva $ \Upsilon$. El criterio de Nyquist se deriva de aplicar el principio del argumento a esta curva. Aplicando (5.40) se tiene:

$\displaystyle \parbox{3cm}{Número de veces que $\Upsilon$\ encierra al origen}=... ...por $\Gamma$}- \parbox{3cm}{Número de polos de $R(s)$\ encerrados por $\Gamma$}$ (5.41)

La ecuación (5.42) puede escribirse de otra forma, si se tiene en cuenta que:

Con estas consideraciones la ecuación (5.42) se convierte en

$\displaystyle \parbox{3cm}{Número de veces que $\Upsilon$\ encierra al origen}=... ... derecho}- \parbox{3cm}{Número de polos de $G(s)H(s)$\ en el semiplano derecho}$ (5.42)

$ \Upsilon$ es la curva que resulta de calcular $ R(s)$ a lo largo de la trayectoria de Nyquist $ \Gamma$, pero como $ R(s)=1+G(s)H(s)$, $ \Upsilon$ es igual al diagrama de Nyquist de $ G(s)H(s)$ desplazado a la derecha una unidad; de tal manera que evaluar cuántas veces encierra $ \Upsilon$ al origen es igual que evaluar cuántas veces encierra el diagrama de Nyquist de el punto $ (-1,0)$. Por esta razón podemos convertir (5.43) en la forma conocida como el criterio de Nyquist:

Criterio de Nyquist
El número de polos en el semiplano derecho que tiene un sistema continuo realimentado como el de la figura 5.1 , con $ K=1$ puede determinarse a partir de la ecuación

$ G(s)H(s)$
$\displaystyle Número de veces que el diagrama de Nyquist de $G(s)H(s)$ encierra... ...en el semiplano derecho- Número de polos de $G(s)H(s)$\ en el semiplano derecho$ (5.43)
Para que el sistema realimentado sea estable debe tener cero polos en el semiplano derecho.

El criterio de Nyquist también permite determinar qué valores puede tener $ K$ en la figura 5.1, para que el sistema realimentado sea estable. Para ello debe notarse que el diagrama de Nyquist de $ kG(s)H(s)$ difiere del diagrama de Nyquist de $ G(s)H(s)$ sólo en la escala, es decir tienen la misma forma, pero el primero está amplificado respecto al segundo $ K$ veces. Observando el diagrama de Nyquist puede determinarse qué tanto debe amplificarse $ G(s)H(s)$ para asegurar que no haya polos en el semiplano derecho.

Para estudiar los valores negativos de $ K$ que harían que el sistema fuera estable, podríamos trazar el diagrama de Nyquist de $ -G(s)H(s)$; sin embargo esto no es necesario, ya que ese diagrama sólo puede diferir del de $ G(s)H(s)$ en una rotación de $ 180^$o, por lo tanto es suficiente con averiguar qué tantas veces se encierra el punto $ (1,0)$.

Ejemplo 5.13   La figura 5.29 muestra el diagrama de Nyquist correspondiente a un sistema realimentado con

$\displaystyle G(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)}\qquad H(s)=\frac{1}{(s+3)}$ (5.44)

\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/realimenta/nyquist_eje} }\end{center}

En esa figura se han destacado los puntos en los que el Diagrama de Nyquist cruza el eje real ($ -1/60$ y $ 1/6$). El número de polos que $ G(s)H(s)$ tiene en el semiplano derecho es cero, de acuerdo con (5.45). De esta forma, el criterio de Nyquist, ecuación (5.44), establece que:

$\displaystyle 0= \parbox{3cm}{Número de polos del sistema realimentado en el semiplano derecho}- 0$ (5.45)

y por lo tanto el sistema realimentado es estable para $ K=1$. Además, en el diagrama de Nyquist se observa que éste se puede amplificar hasta 60 veces sin que cambie el número de veces que encierra al punto $ (-1,0)$, lo que significa que para $ 0<k<60$ el sistema sigue siendo estable. Si se amplifica por un valor superior a $ 60$ el punto $ (-1,0)$ resulta encerrado dos veces por el diagrama, y por lo tanto el sistema realimentado tendrá dos polos en el semiplano derecho, es decir, será inestable.

Evaluamos ahora la estabilidad para valores negativos de $ K$ Remitiéndonos nuevamente a la figura 5.29, observamos que podemos amplificar 6 veces el diagrama sin que cambie el número de veces que encierra al punto $ (1,0)$, lo que significa que para $ -6>K>0$ el sistema sigue siendo estable. Si se amplifica por un valor mayor a $ 6$ el punto $ (1,0)$ resulta encerrado una vez por el diagrama, y por lo tanto el sistema realimentado tendrá un polo en el semiplano derecho, es decir, será inestable. En resumen, el sistema será estable para $ K \in (-6,60)$.


Documento generado usando latex2html a partir de las Notas de Clase originales redactadas por Oscar Duarte

 



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