Subsecciones

5.3 Estabilidad y criterios de estabilidad en sistemas discretos

Por razones análogas a las expresedas en la sección 5.2, la estabilidad de sistemas dinámicos lineales discretos también está determinada por la ubicación de sus polos. La condición de estabilidad consiste en que éstos deben estar ubicados en el interior del círculo unitario.

Debido a que esta condición es diferente a la que existe para los sistemas continuos, las herramientas presentadas en la sección 5.2 no pueden emplearse directamente, sino que es necesario efectuar algún tipo de adecuación. Existen en general tres estrategias:


5.3.1 Transformación bilineal

La transformación

$\displaystyle r=\frac{z+1}{z-1}$ (5.46)

Se conoce como la transformación bilineal, ya que al despejar $ r$ en (5.47) resulta una expresión similar:

$\displaystyle z=\frac{r+1}{r-1}$ (5.47)

La transformación bilineal tiene la propiedad de transformar la circunferencia unitaria en el eje imaginario. Para demostrarlo, supongamos un valor de $ z$ que está en la circunferencia unitaria, es decir $ z=\cos\phi+j\sin\phi$ para algún valor de $ \phi$. Al aplicar (5.47) observamos que $ z$ se transforma en

$\displaystyle r=\frac{\cos\phi+j\sin\phi+1}{\cos\phi+j\sin\phi-1} $

que puede escribirse como

$\displaystyle r=\frac{1+\cos\phi+j\sin\phi}{-1+\cos\phi+j\sin\phi} = \frac{\lef... ...ght) }{ \left(-1+\cos\phi+j\sin\phi\right) \left(-1+\cos\phi-j\sin\phi\right) }$

Al efectuar las operaciones se obtiene que $ r$ es un imaginario puro:

$\displaystyle r=\frac{-j2\sin\phi}{2-2\cos\phi}= j\frac{\sin\phi}{\cos\phi-1}$ (5.48)

La tabla 5.6 muestra cómo se transforman algunos puntos sobre la circunferenca unitaria. Esta transformación se visualiza en la figura 5.30.


Tabla 5.6: Transformación bilineal de algunos puntos sobre la circunferencia unitaria
$ z$ $ r$
$ 1+j0$ indefinido
$ 0.707+j0.707$ $ 0-j2.4142$
$ 0+j1$ $ 0-j1$
$ -0.707+j0.707$ $ 0-j0.4142$
$ -1+j0$ $ 0+j0$
$ -0.707-j0.707$ $ 0+j0.4142$
$ 0-j1$ $ 0+j1$
$ 0.707-j0.707$ $ 0+j2.4142$


\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/realimenta/bilineal} }\end{center}

Ejemplo 5.14   Supóngase que en el sistema de la figura 5.2 se tiene que

$\displaystyle G(z)=\frac{1}{z+0.3} \qquad H(z)=\frac{1}{z+0.7}$ (5.49)

La función de transferencia del sistema realimentado es

$\displaystyle F(z)=\frac{KG(z)}{1+KG(z)H(z)}=\frac{K(z+0.7)}{z^2+z+(K+0.21)}$ (5.50)

Al aplicar la transformación bilineal a $ F(z)$ se obtiene

$\displaystyle \hat F(r)=\frac{K\left(\left(\frac{r+1}{r-1}\right)+0.7\right)} {... ...1}{r-1} \right)+(K+0.21)} =\frac{K(r^2-1.4r-0.3)}{r^2(2.21+K)+r(1.58-2K)+0.21} $

Los valores de $ K$ que hacen que todas las raíces de $ F(z)$ estén dentro del círculo unitario en el plano $ z$ son los mismos valores que hacen que todas las raíces de $ \hat F(r)$ estén en el semiplano izquierdo del plano $ r$. Estos últimos pueden determinarse por medio del criterio de Routh Hurwitz. El arreglo correspondiente se muestra en la figura 5.31 de donde se deduce que las condiciones para que el sistema del ejemplo sea estable son:

$\displaystyle 2.21+K>0\qquad 1.58-2K>0 \qquad 0.21+K>0$ (5.51)

O lo que es equivalente:

$\displaystyle -0.21<K<0.79$ (5.52)

Figura 5.31: Arreglo de Routh para el sistema transformado
\begin{figure}\centering \begin{tabular}{l\vert ccc} $r^2$\ & $(2.21+K)$\ & $(0.... ... $r^1$\ & $(1.58-2K)$\ & \\ $r^0$\ & $(0.21+K)$& \\ \end{tabular} \end{figure}


5.3.2 Arreglo y criterio de Jury

El criterio de Jury 5.7permite determinar cuántas raíces tiene un polinomio en el interior del círculo unitario. Cumple, para el caso discreto, un papel análogo al que cumple el criterio de Routh-Hurwitz en el caso continuo.


5.3.2.1 Construcción del arreglo de Jury

Dado un polinomio $ p(z)$

$\displaystyle p(z)=a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_2s^2+a_1s^1+a_0$ (5.53)

en donde los coeficientes $ a_i$ son reales y $ a_n$ es positivo, es posible construir el Arreglo de Jury de $ p(z)$ a partir de los coeficientes $ a_i$ que aparecen en (5.54). Para ello, inicialmente se construye el arreglo que se muestra en la figura 5.32: la primera línea contiene los coeficientes de $ p(z)$ en orden, desde $ a_0$ hasta $ a_n$, y en la segunda línea en orden inverso. En general, cada línea par contiene los mismos coeficientes que la línea inmediatamente anterior pero en el orden inverso.

Los elementos de las líneas impares se construyen asi:

$\displaystyle b_k= \begin{vmatrix}a_0 & a_{n-k} \\ a_n & a_k \end{vmatrix} \; c... ... \; d_k= \begin{vmatrix}c_0 & c_{n-2-k} \\ c_{n-2} & c_k \end{vmatrix} \;\cdots$ (5.54)

Es decir, el primer elemento de una fila impar se calcula como el determinate de la matriz construida tomando de las dos líneas inmediatamente anteriores la primera y la última columna; el segundo elemento de forma similar pero con la primera y la penúltima columnas; el tercero con la primera y la antepenúltima, y asi sucesivamente. Dado que el último elemento sería el determinante de la matriz formada con dos columnas iguales (la primera dos veces), este valor será siempre cero, y por tanto no se escribe en el arreglo (se ha eliminado).

Figura 5.32: Arreglo de Jury. Primeras dos líneas
\begin{figure}\centering \begin{tabular}{\vert c\vert ccccccccc\vert}\hline Fila... ...-3$\ & $q_0$\ & $q_1$\ & $q_2$\ & & & & & & \\ \hline \end{tabular} \end{figure}

Ejemplo 5.15   Considérese el polinomio

$\displaystyle p(z)=1+2z+3z^2+4z^3+5z^5$ (5.55)

Las primeras dos líneas del arreglo de Jury para $ p(z)$ se muestran en la figura 5.33. Sólo es necesario construir 5 líneas, porque $ n=4$ y $ 2n-3=5$.

La tercera línea se construye asi:

$\displaystyle b_0= \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 1 \end{vmatrix}=-24 \qquad b_1= \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}=-18 \; $

$\displaystyle b_2= \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 3 \end{vmatrix}=-12 \qquad b_3= \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{vmatrix}=-6 \; $

El arreglo con las cuatro primeras líneas su muestra en la figura 5.34.La quinta línea se construye asi:

$\displaystyle c_0= \begin{vmatrix} -24 & -6 \\ -6 & -24 \end{vmatrix}=504 \qquad c_1= \begin{vmatrix} -24 & -12 \\ -6 & -18 \end{vmatrix}=360 $

$\displaystyle c_2= \begin{vmatrix} -24 & -18 \\ -6 & -12 \end{vmatrix}=180 $

Figura 5.33: Arreglo de Jury del ejemplo 5.15. Primeras dos líneas
\begin{figure}\centering \begin{tabular}{\vert c\vert ccccc\vert}\hline Fila & $... ...0$\ &\\ $5$\ & $c_0$\ & $c_1$\ & $c_2$\ & &\\ \hline \end{tabular} \end{figure}

Figura 5.34: Arreglo de Jury del ejemplo 5.15. Primeras cuatro líneas
\begin{figure}\centering \begin{tabular}{\vert c\vert ccccc\vert}\hline Fila & $... ...24$\ &\\ $5$\ & $c_0$\ & $c_1$\ & $c_2$\ & &\\ \hline \end{tabular}\end{figure}

Figura 5.35: Arreglo de Jury del ejemplo 5.15. Arreglo completo
\begin{figure}\centering \begin{tabular}{\vert c\vert ccccc\vert}\hline Fila & $... ...$\ &\\ $5$\ & $504$\ & $360$\ & $180$\ & & \\ \hline \end{tabular} \end{figure}


5.3.2.2 Criterio de Jury

El Criterio de Jury puede expresarse asi:

Criterio de Jury
Las condiciones necesarias y suficientes para que $ p(z)$ en (5.54) tenga todas sus raíces en el interior del círculo unitario del plano $ z$ son:
$\displaystyle \begin{equation}p(1)>0 \end{equation} \begin{equation}p(-1)\left\... ... \\ & \vdots & \\ Vert q_0\vert & > & \vert q_{2}\vert \\ \end{matrix} \right\}$   $ n-1$ condiciones$\displaystyle \end{equation}$    

Nótese que este criterio se reduce a unas condiciones muy simples para el caso de polinomios de segundo orden ($ n=2$):

$\displaystyle \begin{equation}p(1)>0 \end{equation} \begin{equation}p(-1)>0 \end{equation} \begin{equation}\vert a_0\vert < a_2 \\ \end{equation}$    

Ejemplo 5.16   Supóngase el polinomio $ p(z)$ de la ecuación (5.56) en el Ejemplo 5.15, cuyo arreglo de Jury se muestra en la figura 5.35. Las condiciones (5.57) se convierten en:

$\displaystyle \begin{equation}p(1)=1+2(1)^1+3(1)^2+4(1)^3+5(1)^4=15>0 \end{equa... ...6 \\ 504=\vert c_0\vert & > & \vert c_2\vert=180 \\ \end{matrix} \end{equation}$    

Por lo que $ p(z)$ tiene todas su raíces en el interior del círculo unitario. Efectivamente, las raíces de $ p(z)$ son:

$\displaystyle r_{1_2}=0.1378\pm i0.6782 \qquad r_{3,4}=-0.5378\pm i0.3583 $

$\displaystyle \vert r_{1_2}\vert=0.692<1 \qquad \vert r_{3,4}\vert=0.646<1 $

Ejemplo 5.17   Supóngase ahora un sistema como el del ejemplo 5.14, es decir un sistema realimentado como el de la figura 5.2 con

$\displaystyle G(z)=\frac{1}{z+0.3} \qquad H(z)=\frac{1}{z+0.7}$ (5.59)

La función de transferencia del sistema realimentado es

$\displaystyle F(z)=\frac{KG(z)}{1+KG(z)H(z)}=\frac{K(z+0.7)}{z^2+z+(K+0.21 )}$ (5.60)

Para que el denominador de $ F(z)$ tenga todas sus raíces en el círculo unitario, y por tanto el sistema realimentado sea estable, se deben satisfacer (5.57); como el denominador es de segundo orden, estas condiciones se convierten en las que muestra (5.58), es decir:

$\displaystyle \begin{equation}p(1)=1+1+(0.21+K)>0 \end{equation} \begin{equatio... ...ation} \begin{equation}\vert.21+K\vert=\vert a_0\vert < a_2=1 \\ \end{equation}$    

Estas condiciones se convierten en

$\displaystyle \begin{equation}K>-2.21 \end{equation} \begin{equation}K>-0.21 \end{equation} \begin{equation}-1.21<K<0.79 \\ \end{equation}$    

o lo que es equivalente:

$\displaystyle -0.21<K<0.79$ (5.63)

que coincide con lo obtenido en (5.53)


5.3.2.3 Problemas en la construcción del arreglo de Jury

Es posible que algunos o todos los elementos de una fila en el arreglo de Jury sean cero, en cuyo caso se considera que el arreglo ha terminado de forma prematura. La solución ha este inconveniente se considera fuera del alcance del curso y por lo tanto se ha omitido en estas notasfootnotevéase [#!RAO!#].


5.3.3 Lugar geométrico de las raíces

El root-locus y el root-locus complementario muestran cómo varía la ubicación de los polos de la ecuación (5.5) al variar $ K$. Como la forma de (5.5) y la de (5.6) son idénticas, pueden emplearse estos diagramas en forma análoga a como se emplean en el caso continuo para determinar la estabilidad de un sistema discreto realimentado como el de la figura 5.2: deben encontrarse las condiciones para que todas las ramas del root-locus y el root-locus complementario estén en el interior del círculo unitario.

Ejemplo 5.18  

Tomemos el mismo sistema analizado en los ejemplos 5.14 y 5.17. Se trata de un sistema realimentado como el de la figura 5.2 con

$\displaystyle G(z)=\frac{1}{z+0.3} \qquad H(z)=\frac{1}{z+0.7}$ (5.64)

El root-locus y el root-locus complementario de $ G(z)H(z)$ se muestra en la figura 5.36. Se ha dibujado allí también el círculo unitario, para facilitar la determinación de la estabilidad.

El root-locus cruza el circulo unitario en $ -0.5\pm j\sqrt{1-0.5^2}=-0.5\pm j0.86$, Estos puntos corresponden a una ganancia $ K_{c1}$ positiva tal que

$\displaystyle K_{c1}=\left\vert\frac{1} {(-0.5+j0.86+0.3)(-0.5+j0.86+0.7)} \right\vert =0.79$ (5.65)

El root-locus complementario cruza el círculo unitario en $ -1$ y en $ 1$.Estos puntos corresponden a unas ganancias $ K_{c2}$ y $ K_{c3}$ negativa tales que

$\displaystyle K_{c2}=-\left\vert\frac{1} {(-1+0.3)(-1+0.7)} \right\vert =-0.21$ (5.66)

$\displaystyle K_{c3}=-\left\vert\frac{1} {(1+0.3)(1+0.7)} \right\vert =-2.21$ (5.67)

De las ecuaciones (5.66), (5.67) y (5.68) se desprenden las condiciones para que el root-locus y el root locus complementario estén en el interior del círculo unitario: Para el root-locus se necesita que $ K<0.79$ y para el root-locus complementario que $ K>-0.21$ y $ K>-2.21$. Estas condiciones se pueden resumir en una sóla

$\displaystyle -0.21<K<0.79$ (5.68)

que coincide con las encontradas en (5.53) y (5.64)

\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/realimenta/root_eje_dis} }\end{center}


5.3.4 Diagramas y criterio de Bode

En la sección 5.2.3 se muestra cómo pueden emplearse los Diagramas de Bode para estudiar la estabilidad de sistemas realimentados contínus como los de la figura 5.1. La figura 5.18 muestra la relación entre el cruce por el eje real de las ramas del root-locus y el root-locus complementario con los diagramas de bode de $ G(s)H(s)$.

Para estudiar la estabilidad de los sistemas discretos ya no es importante el cruce por el eje imaginario, sino el cruce por la circunferencia unitaria. Por esta razón, los diagramas de $ \vert G(j\omega)H(j\omega)\vert$ y $ \arg G(j\omega)H(j\omega)$ ya no son útiles.

Dicho de otra forma, ya no es interesante recorrer el eje imaginario $ j\omega$, sino la circunferencia unitaria. Esta última se puede recorrer con la función $ e^{j\omega}$, variando $ \omega$ entre 0 y $ 2\pi$. En efecto, podemos emplear la Fórmula de Euler para escribir

$\displaystyle e^{j\omega}=\cos \omega+j\sin \omega$ (5.69)

La ecuación (5.70) muestra que $ e^{j\omega}$ es un número complejo de magnitud $ 1$ y ángulo $ \omega$, por lo tanto, si $ \omega$ varía entre 0 y $ 2\pi$ se recorre la circunferencia unitaria.

Al igual que en el caso continuo, podemos argumentar la simetría del root-locus para recorrer unicamente la mitad de la circunferencia, es decir, tomar $ 0\leq\omega\leq\pi$.

En resumen, podemos trazar los diagramas de magnitud y ángulo para $ G(e^{j\omega})H(e^{j\omega})$ con $ 0\leq\omega\leq\pi$, o lo que es igual, para $ G(jf)H(jf)$ con $ 0<f<\frac{1}{2}$. Estos son los diagramas de bode para sistemas discretos y emplean las mismas escalas que los diagramas de bode para sistemas continuos.

La relación que existe entre los diagramas de root-locus y root-locus complementario, por una parte, y los diagramas de bode, por otra, para sistemas discretos se muestra en la figura 5.37. De esta forma, la determinación de la estabilidad de sistemas realimentados discretos es completamente análoga al caso continuo, y se ilustra con el ejemplo 5.19

\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/realimenta/root_bode_dis} }\end{center}

Ejemplo 5.19   Retomemos el mismo sistema analizado en los ejemplos 5.14, 5.17 y 5.18. Se trata de un sistema realimentado como el de la figura 5.2 con

$\displaystyle G(z)=\frac{1}{z+0.3} \qquad H(z)=\frac{1}{z+0.7}$ (5.70)

Los diagramas de bode de $ G(z)H(z)$ se muestran en la figura 5.38 (Nótese que $ f$ varía de 0 a $ \frac{1}{2}$).

Se observa que el ángulo de $ G(e^{j\omega})H(e^{j\omega})$ es $ -180^$o para una frecuencia de $ 0.3338$Hz, es decir para $ \omega=2\pi 0.3338=2.094rad/s$. En esa frecuencia el valor de la magnitud de $ G(e^{j\omega})H(e^{j\omega})$ es de $ 2.04$db, lo que significa que la magnitud de $ K$, en decibeles, para la cual una rama del Root-Locus atraviesa la circunferencia unitaria es tal que $ \frac{1}{\vert K_{c1}\vert _{\text{en db}}}=2.04$, lo que equivale a:

$\displaystyle \frac{1}{\vert K_{c1}\vert}=10^{\frac{\vert K_{c1}\vert _{\text{e... ...}} \qquad \vert K_{c1}\vert=10^{-\frac{\vert K_{c1}\vert _{\text{en db}}}{20}} $

$\displaystyle \vert K_{c1}\vert=10^{-\frac{2.04}{20}}=0.79 \qquad K_{c1}=0.79$ (5.71)

Para estudiar los cruces por la circunferencia unitaria de ramas del root-locus complementario, observamos que el diagrama de fase es asintótico a $ 0^$o, es decir que para $ \omega=0$ el ángulo de $ G(e^{j\omega})H(e^{j\omega})$ es $ 0^$o. También se observa que para una frecuencia de $ \frac{1}{2}$Hz, es decir $ \omega=\pi$ el ángulo es de $ -360^$o, que es igual a $ 0^$o.

Lo anterior significa que dos ramas del root locus complementario cruzan la circunferencia unitaria en $ K_{c2}$ y $ K_{c3}$ que se pueden calcular como:

$\displaystyle \vert K_{c2}\vert=10^{-\frac{-6.89}{20}}=2.21 \qquad K_{c2}=-2.21$ (5.72)

$\displaystyle \vert K_{c3}\vert=10^{-\frac{13.555}{20}}=0.21 \qquad K_{c3}=-0.21$ (5.73)

\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/realimenta/eje_bode_dis} }\end{center}

Los resultados de las ecuaciones (5.72) a (5.74) son coherentes con los obtenidos en (5.53), (5.64) y (5.69).


5.3.5 Diagrama y criterio de Nyquist

El criterio de Nyquist para sistemas realimentados continuos de la ecuación (5.44) se construye empleando las trayectorias de Nyquist que se muestran en las figuras 5.26 y 5.27. Estas trayectorias han sido diseñadas en forma tal que encierran todo el semiplano derecho y asi poder emplear el principio del argumento (ecuación (5.40)) en forma conveniente.

Para sistemas discretos realimentados como los de la figura 5.2 es necesario modificar la trayectoria de Nyquist para que encierre toda la porción del plano complejo que está por fuera del círculo unitario. La trayectoria seleccionada se muestra en la figura 5.39; en caso de que $ G(z)H(z)$ tenga polos exactamente sobre la circunferencia unitaria, es necesario modificar la trayectoria como se muestra en la figura 5.40. Denominaremos al diagrama obtenido con estas trayectorias Diagrama de Nyquist para sistemas discretos, o simplemente Diagrama de Nyquist discreto.

\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/realimenta/tray_nyquist_dis_1} }\end{center} \begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/realimenta/tray_nyquist_dis_2} }\end{center}

En estas condiciones, el Criterio de Nyquist para sistemas discretos puede enunciarse asi:

Criterio de Nyquist para sistemas discretos
El número de polos por fuera del círculo unitario que tiene un sistema discreto realimentado como el de la figura 5.2 , con $ K=1$ puede determinarse a partir de la ecuación

$\displaystyle Número de veces que el diagrama de Nyquist discreto de $G(z)H(z)$... ...círculo unitario- Número de polos de $G(z)H(z)$\ por fuera del círculo unitario$ (5.74)

Para que el sistema realimentado sea estable debe tener cero polos por fuera del círculo unitario.

Ejemplo 5.20   Retomemos el mismo sistema analizado en los ejemplos 5.14, 5.17, 5.18 y 5.19. Se trata de un sistema realimentado como el de la figura 5.2 con

$\displaystyle G(z)=\frac{1}{z+0.3} \qquad H(z)=\frac{1}{z+0.7}$ (5.75)

El diagrama de Nyquist de $ G(z)H(z)$ se muestra en la figura 5.41; puede observarse que el diagrama de Nyquist encierra una vez el punto $ (-1,0)$. Además, $ G(z)H(z)$ tiene cero polos por fuera del círculo unitario. Según (5.75) se tiene que

$\displaystyle 1= \parbox{3cm}{Número de polos del sistema realimentado por fuera del círculo unitario}- 0$ (5.76)

y por lo tanto el sistema realimentado con $ K=1$ es inestable. Sin embargo el número de veces que se encierra el punto $ (-1,0)$ puede ser 0 si el diagrama se amplifica por un valor positivo menor que $ 0.79$. En estas condiciones el sistema realimentado será estable. Por lo tanto, para que el sistema realimentado sea estable con valores positivos de $ K$, se necesita que $ 0<K<0.79$

Para estudiar los valores negativos de $ K$ que harían que el sistema fuera estable, podríamos trazar el diagrama de Nyquist de $ -G(z)H(z)$; sin embargo esto no es necesario, ya que ese diagrama sólo puede diferir del de $ G(z)H(z)$ en una rotación de $ 180^$o, por lo tanto es suficiente con averiguar qué tantas veces se encierra el punto $ (1,0)$.

En la figura 5.41 se observa que el número de veces que el diagrama de Nyquist puede encerrar al punto $ (1,0)$ es 0, $ 1$ o $ 2$ en las siguientes condiciones:

  • Si se amplifica por una cantidad menor que $ 0.21$ lo encierra 0 veces.
  • Si se amplifica por una cantidad mayor que $ 0.21$ y menor que $ 2.21$ lo encierra $ 1$ vez.
  • Si se amplifica por una cantidad mayor que $ 2.21$ lo encierra $ 2$ veces.

Por lo tanto, para que el sistema realimentado sea estable con valores negativos de $ K$, se necesita que $ -0.21<K<0$

Al combinar los resultados obtenidos para valores positivos y negativos de $ K$ se tiene que

$\displaystyle -0.21<K<0.79$ (5.77)

que coincide con (5.53), (5.64), (5.69) y (5.72).

\begin{center}\vbox{\input{/home/ogduarte/Cursos/sistemas/fig/realimenta/nyquist_eje_dis} }\end{center}


Documento generado usando latex2html a partir de las Notas de Clase originales redactadas por Oscar Duarte

 



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