Se ha visto en los párrafos anteriores que el estado de esfuerzos se puede representar por medio de una matriz referida a un sistema de ejes coordenados. Si para el mismo punto se selecciona un sistema de ejes con diferente orientación, las matrices que definen los estados de esfuerzos serán diferentes pero, obviamente, los estados siguen siendo los mismos.  Esto conlleva a una definición formal de tensor: El conjunto de entidades matemáticas que describen el mismo objeto abstracto, independientemente de los sistemas coordenados a los que son referidas estas entidades, es un tensor.

Para poder expresar los tensores para diferentes orientaciones de los ejes coordenados es indispensable familiarizarse con una matriz de transformación conocida como matriz de rotación.

Considérese un sistema de ejes x’, y’, z’ que tiene cualquier orientación con respecto a los ejes x, y, z, [Fig. 2-8]. 

Figura 2‑8

Con referencia al sistema x, y, z, los vectores unitarios, , , y  se pueden expresar como:

[2-5]

donde (l₁₁,l_12,l₁₃), (l₂₁,l₂₂,l₂₃), (l₃₁,l₃₂,l₃₃) ,son los cosenos directores de los ejes x’, y’, z’, respectivamente, con referencia a los ejes x, y, z.

La matriz

[2-6]

que determina la orientación entre dos sistemas de ejes coordenados se conoce como la matriz de rotación.

Puesto que para un sistema rotado x’y’z’ se cumple que

[2-7]

 

es fácil demostrar que la transpuesta de , , es igual a la inversa de , .

 

Es decir

entonces

[2-8]

Considérese el vector esfuerzo  en O actuando sobre un plano inclinado de normal , [Fig. 2-9].

Figura 2-9

Como

,

teniendo en cuenta las ecuaciones [3-5] se obtiene que

o, en forma matricial

[2-9]

 

multiplicando por en ambos lados

entonces

[2-10]

Se puede concluir entonces que para expresar un vector referido a un sistema x’, y’, z’, girado arbitrariamente con respecto a un sistema x, y, z se multiplica el vector por la transpuesta de la matriz de rotación.

Por consiguiente, de la ecuación [2-9] se tiene que, , entonces

[2-11]

De las ecuaciones [2-4], [2-10] y [2-11], se tiene

Como , entonces

_y

entonces

[2-12]

premultiplicando por  y postmultiplicando  por  se tiene

,

entonces :

[2-13]